Правила умножения и деления степеней

Математика

Нам уже знакомо понятие степени с натуральным показателем. Перейдём к основным правилам, по которым можно выполнять умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. 

Теорема 1
Для любого числа aa и любых натуральных чисел mm и nn справедливо равенство:

am⋅an=am+n.a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
ДоказательствоПо определению степени с натуральным показателем:
am=a⋅a⋅…⋅a⏟m множителей,an=a⋅a⋅…⋅a⏟n множителей.a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{m\ \text{множителей}},\quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{n\ \text{множителей}}.
Тогда:
am⋅an=a⋅a⋅…⋅a⏟m раз⋅a⋅a⋅…⋅a⏟n раз.a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{m\ \text{раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{n\ \text{раз}}.
По правилу объединения множителей:
=a⋅a⋅…⋅a⏟m+n раз=am+n.= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n\ \text{раз}} = a^{m+n}.
Теорема доказана. Это правило справедливо и для большего количества степеней:
an1⋅an2⋅…⋅ank=an1+n2+…+nk.a^{n_1} \cdot a^{n_2} \cdot \ldots \cdot a^{n_k} = a^{n_1+n_2+\ldots+n_k}.
  Вывод:При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остаётся без изменений:
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}


▶\blacktriangleright Пример 1.
Представим произведение x5⋅x17x^5 \cdot x^{17} в виде степени:
x5⋅x17=x5+17=x22.x^5 \cdot x^{17} = x^{5+17} = x^{22}.
Представим в виде степени:
52⋅54⋅55⋅57⋅515.5^2 \cdot 5^4 \cdot 5^5 \cdot 5^7 \cdot 5^{15}.
Ответ:
52+4+5+7+15=533.5^{2+4+5+7+15} = 5^{33}.
  Теорема 2Пусть a≠0a \ne 0, m>nm > n — натуральные числа. Тогда:
aman=am−n.\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.


Доказательство
Запишем произведение am−n⋅ana^{m-n} \cdot a^n:По предыдущей теореме:
am−n⋅an=a(m−n)+n=am.a^{m-n} \cdot a^n = a^{(m-n)+n} = a^m.
Тогда из этого равенства:
am−n=aman.a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n}.
Что и требовалось доказать.  Вывод:При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя, основание остаётся прежним:
am:an=am−n,a≠0, m>n.a^m : a^n = a^{m-n}, \quad a \ne 0,\ m > n.


▶\blacktriangleright Пример 2.
Вычислим:
a10:a2=a10−2=a8.a^{10} : a^2 = a^{10 - 2} = a^8.
Важно: В формулировке теоремы обязательно условие a≠0a \ne 0, чтобы избежать деления на ноль при подстановке значений. Если m=nm = n, то по правилу:
anan=an−n=a0.\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0.
Но с другой стороны, по определению:
anan=1.\dfrac{a^n}{a^n} = 1.
Значит, для любого a≠0a \ne 0:
a0=1.a^0 = 1.

Однако при a=0a = 0 выражение a0=0n0na^0 = \dfrac{0^n}{0^n} превращается в деление на ноль, что не определено. 

Вывод:
Степень нулевого порядка от ненулевого основания равна единице:
a0=1,a≠0.a^0 = 1, \quad a \ne 0.
Выражение 000^0 не имеет смысла и в математике считается неопределённым.

Top.Mail.Ru