Нам известно, как разложить многочлен на множители методом вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим ещё один способ — метод группировки. Его удобно использовать, когда в многочлене четыре или более слагаемых. ▶ Пример 1.Разложим на множители многочлен
mn−2n+3m−6. Решение.Сначала сгруппируем по скобкам слагаемые так, чтобы можно было вынести общий множитель из каждой:mn−2n+3m−6=(mn+3m)−(2n+6). Отметим, что перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные. Это эквивалентно тому, что из второй группы вынесен множитель (−1).Далее выносим общий множитель из каждой скобки:(mn+3m)−(2n+6)=m(n+3)−2(n+3). Теперь в обеих частях стоит общий множитель (n+3), его можно вынести за скобки:m(n+3)−2(n+3)=(n+3)(m−2). Ответ:mn−2n+3m−6=(n+3)(m−2). Разложите многочлен m+n+t(m+n) на множители.Решение.m+n+t(m+n)=(m+n)+t(m+n)=(1+t)(m+n). Ответ:(m+n)(1+t). ▶ Пример 2.Разложим на множители многочленxy2−by2−ax+ab+y2−a. Решение. Решим двумя способами. Способ 1 (группировка по два слагаемых):xy2−by2−ax+ab+y2−a=(xy2−by2)+(−ax+ab)+(y2−a) =y2(x−b)−a(x−b)+(y2−a) =(x−b)(y2−a)+1⋅(y2−a)=(y2−a)(x−b+1). Способ 2 (группировка по три слагаемых):xy2−by2−ax+ab+y2−a=(xy2−by2+y2)+(−ax+ab−a) =y2(x−b+1)−a(x−b+1)=(y2−a)(x−b+1). Вывод:Оба способа дают одно и то же разложение:xy2−by2−ax+ab+y2−a=(y2−a)(x−b+1). Для самопроверки всегда можно раскрыть скобки и убедиться, что полученный результат совпадает с исходным многочленом.