Как умножать одночлены и одночлен на многочлен

Математика

Нам известно, что любой одночлен представляет собой произведение числовых и буквенных множителей. Умножение одночленов заключается в умножении их числовых коэффициентов и умножении одинаковых буквенных множителей с соответствующим складыванием показателей степеней.

Правила умножения одночлена на одночлен

1) Умножение числовых коэффициентов: при умножении одночленов мы можем умножать их числовые коэффициенты.
2) Умножение буквенных множителей: при умножении одночленов одинаковые буквенные множители умножаются с соответствующим складыванием степеней.

3) Запись результата: нам важно записать ответ в виде стандартного одночлена.

Пример 1.
Варвара выпекает $x$ блинчиков за $10$ минут, а Иван выпекает $y$ блинчиков за $20$ минут. Составим выражение для подсчета количества блинчиков, которые испекут друзья вместе за $t$ минут.
Решение.За одну минуту Варвара выпекает $\dfrac{x}{10}$ блинчиков, а Иван — $\dfrac{y}{20}$ .Вместе за одну минуту они испекут $\left(\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{20}\right)$ блинчиков,а за $t$ минут — $t\cdot\left(\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{20}\right)$ блинчиков.Умножим одночлен $t$ на многочлен $\left(\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{20}\right)$ :

t\cdot\left(\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{20}\right) = t\cdot\dfrac{x}{10} + t\cdot\dfrac{y}{20}.

Пример 2.Выполним умножение

3a(a^2 - 2a + 3).

Решение.Умножим одночлен

3a

на каждый член многочлена

(a^2 - 2a + 3)

3a \cdot a^2 - 3a \cdot 2a + 3a \cdot 3.

Приведём к стандартному виду:

3a^3 - 6a^2 + 9a.

Таким образом,

3a(a^2 - 2a + 3) = 3a^3 - 6a^2 + 9a.

Алгоритм умножения одночлена на многочлен:
1) Умножить одночлен на каждый член многочлена и записать алгебраическую сумму.
2) Привести каждый член к стандартному виду.

Пример 2.
Выполните умножение:

-4p(8p + 6q)

-4p(8p + 6q) = -32p^2 - 24pq.
Пример.Выполните умножение:

(3x^4 + 4x^3 - 7) \cdot 5x^2

5x^2 \cdot (3x^4 + 4x^3 - 7) = 5x^2 \cdot 3x^4 + 5x^2 \cdot 4x^3 - 5x^2 \cdot 7 = 15x^6 + 20x^5 - 35x^2.