Возведение алгебраической дроби в степень

Математика

Возведение алгебраической дроби в степень с натуральным показателем

Для обыкновенных дробей действует правило:

\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \quad b \ne 0,

где

n

— натуральное число.
Точно по такому же принципу происходит и возведение алгебраической дроби в степень — отдельно возводится в степень числитель и знаменатель.

Пример 1.
Вычислим:

\left(\dfrac{2a^2}{7t^3}\right)^3.

Сначала возводим числитель и знаменатель в третью степень:

\left(\dfrac{2a^2}{7t^3}\right)^3 = \dfrac{(2a^2)^3}{(7t^3)^3}.

Теперь используем формулу степени произведения:

(2a^2)^3 = 2^3 \cdot (a^2)^3, \quad (7t^3)^3 = 7^3 \cdot (t^3)^3.

Применим правило

(a^m)^n = a^{mn}

= \dfrac{2^3 \cdot a^6}{7^3 \cdot t^9} = \dfrac{8a^6}{343t^9}.

Ответ:

\left(\dfrac{2a^2}{7t^3}\right)^3 = \dfrac{8a^6}{343t^9}.

Пример 2.
Возведем в степень выражение:

\left(\dfrac{x - 7}{3x}\right)^4.

Возводим числитель и знаменатель в четвёртую степень:

= \dfrac{(x - 7)^4}{(3x)^4}.

Знаменатель раскрываем:

(3x)^4 = 3^4 \cdot x^4 = 81x^4.

Ответ:

\left(\dfrac{x - 7}{3x}\right)^4 = \dfrac{(x - 7)^4}{81x^4}.