MindCube Академия - Тождественные преобразования: что это и как применять в алгебре

Алгебра занимается изучением правил преобразования алгебраических выражений — как числовых, так и содержащих переменные.
Когда два выражения включают одни и те же переменные, их соответствующими значениями называют числовые значения, полученные при одинаковых подстановках этих переменных.

Важно, чтобы в процессе преобразования новых выражений их значения совпадали с исходными при всех допустимых подстановках.
Такиt преобразования называют тождественными.

$\blacktriangleright$ Пример $1$ .

Вычислим значение числового выражения
$1{,}45 + 2{,}8 + 3{,}75$ .
Можно складывать последовательно, а можно воспользоваться тождественно равным выражением:
$(1{,}45 + 3{,}75) + 2{,}8$ , чтобы быстрее получить результат $8$ .
Это числовое равенство:

1{,}45 + 2{,}8 + 3{,}75 = (1{,}45 + 3{,}75) + 2{,}8

является тождеством — то есть верным равенством при любых значениях чисел.

$\blacktriangleright$ Пример $2$ . Требуется найти значение выражения
$3a + 4a$ при $a = \dfrac{1}{5}$ .
Можно сразу подставить $a$ , а можно сначала упростить: $3a + 4a = 7a$ , а затем подставить $a = \dfrac{1}{5}$ .
Равенство $3a + 4a = 7a$ — это тождество, а сами выражения $3a + 4a$ и $7a$ — тождественно равные выражения.

Определение

Если два выражения, содержащие одинаковые переменные, принимают одинаковые значения при любых допустимых подстановках этих переменных, то такие выражения называются тождественно равными.
Тождество — это равенство, которое остаётся верным при всех допустимых значениях переменных.

Переместительный закон сложения	$a+b=b+a$
Переместительный закон умножения	$ab=ba$
Сочетательный закон сложения	$(a+b)+c=a+(b+c)$
Сочетательный закон умножения	$(ab)c=a(bc)$
Распределительный закон умножения относительно сложения	$a(b+c)=ab+ac$

Также тождествами являются следующие равенства.

$1)$ $a-b=a+(-b)$ . Это равенство позволяет заменить вычитание сложением.

$2)$ $\dfrac{a}{b}=a\cdot \dfrac{1}{b}$ . Это равенство позволяет заменить деление умножением.

Применив эти равенства, далее в преобразованиях можно использовать законы сложения и умножения.

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Рассмотрим выражения $6 + 10 - 4 + 2 - 3$ и $x - 3y + 7$ .
Их можно переписать как алгебраическую сумму:

6 + 10 - 4 + 2 - 3 = 6 + 10 + (-4) + 2 + (-3)

x - 3y + 7 = x + (-3y) + 7

Выражения, содержащие сложение и вычитание, можно записать в виде алгебраической суммы.

Определение

Алгебраическая сумма — это запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаками “+” или “-”.

Если в алгебраической сумме нужно раскрыть скобки, то применяем следующие правила.

$1)$ Если перед скобками стоит знак “+”, то скобки можно опустить, то есть

$a+(b+c)=a+b+c$ ;

$a+(b-c)=a+b-c$ .

$2)$ Если перед скобками стоит знак “-”, то, опустив скобки, нужно заменить знак перед каждым слагаемым на противоположный, то есть

$a-(b+c)=a-b-c$ ;

$a-(b-c)=a-b+c$ .

Раскрытие скобок в алгебраической сумме согласно указанным выше правилам и приведение подобных слагаемых относят к тождественным преобразованиям.