Умножение и деление алгебраических дробей

Для выполнения умножения обыкновенных дробей необходимо перемножить числители, чтобы получить новый числитель, и перемножить знаменатели, чтобы получить новый знаменатель. После этого, если возможно, следует сократить дробь.Если требуется выполнить деление дробей, то это деление заменяется умножением первой дроби на обратную ко второй.

$\blacktriangleright$ Пример 1.
Выполним действия с обыкновенными дробями.
$1)$ $\frac{24}{17} \cdot \frac{34}{48} = \frac{24 \cdot 34}{17 \cdot 48} = \frac{2}{2} = 1$.
$2)$ $\frac{12}{33} : \frac{20}{3} = \frac{12}{33} \cdot \frac{3}{20} = \frac{36}{660} = \frac{3}{55}$.

Теперь рассмотрим, как производятся умножение и деление алгебраических дробей.
Эти операции выполняются по тем же правилам, что и с обычными дробями: умножаем числители между собой и знаменатели между собой.
При делении используем обратную дробь.

$\blacktriangleright$ Пример 2.
Выполним умножение алгебраических дробей.
$1)$ $\frac{3pk}{2} \cdot \frac{4}{k}$.
Числитель новой дроби: $3pk \cdot 4$
Знаменатель новой дроби: $2 \cdot k$\[\frac{3pk \cdot 4}{2k} = \frac{12p \cancel{k}}{2 \cancel{k}} = 6p\]$.$6p$$2)$$\frac{m - n}{m^2 + mn} \cdot \frac{n^2 + mn}{(m - n)^2}$.$\frac{(m - n) \cdot (n^2 + mn)}{(m^2 + mn)(m - n)^2}$.$n^2 + mn = n(n + m), \quad m^2 + mn = m(m + n)$.$\frac{(m - n) \cdot n(n + m)}{m(m + n)(m - n)^2}$.$(m - n)(m + n)$:=$\frac{n}{m(m - n)}$.$\dfrac{n}{m(m - n)}$.$1)$Алгоритм умножения алгебраических дробей:$2)$Перемножаем числители — записываем результат в числитель новой дроби.$3)$Перемножаем знаменатели — записываем в знаменатель новой дроби.$4)$ Сокращаем результат, если числитель и знаменатель имеют общие множители.

Аналогично выполняется умножение трёх и более алгебраических дробей — просто поэтапно перемножаются все числители и все знаменатели, затем результат упрощается.