Чтобы сравнить обыкновенные дроби с различными знаменателями, сложить или вычесть их, необходимо привести их к общему знаменателю.
Под общим знаменателем понимается такое число, которое делится на каждый из исходных знаменателей.
Обычно выбирают наименьшее общее кратное (НОК).
Пример 1.
Приведём к общему знаменателю дроби:
.
Решение.
Наименьшее общее кратное для чисел и — это .
Дополнительные множители подбираются так:
для — множитель \dfrac{2}{5}6\dfrac{7}{10}3\blacktriangleright\dfrac{4}{7ab^{3}}\dfrac{3}{14a^{2}b}7ab^3 = 7ab \cdot b^2, \qquad 14a^2b = 7ab \cdot 2a7ab \cdot 2a \cdot b^2 = 14a^2b^32ab^2\frac{4}{7ab^{3}} = \frac{4 \cdot 2a}{14a^2b^3} = \frac{8a}{14a^2b^3}, \qquad \frac{3}{14a^2b} = \frac{3 \cdot b^2}{14a^2b^3} = \frac{3b^2}{14a^2b^3}\blacktriangleright\dfrac{1}{x^{2}-y^{2}}\dfrac{2}{x^{2}-2xy+y^{2}}x^2 - y^2 = (x - y)(x + y), \qquad x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2(x - y)^2(x + y) = (x + y)(x - y)^2.2)\frac{1}{(x - y)(x + y)} = \frac{(x - y)}{(x + y)(x - y)^2}, \qquad \frac{2}{(x - y)^2} = \frac{2(x + y)}{(x + y)(x - y)^2}\blacktriangleright\dfrac{1}{t - 2}\dfrac{2}{2 - t}2 - t = -(t - 2)\frac{2}{2 - t} = \frac{2}{-(t - 2)} = \frac{-2}{t - 2}t - 2$.
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
1) Разложить знаменатели на множители.Найти наименьшее общее кратное всех знаменателей (учитывая степени и множители).
2) Определить дополнительные множители для каждой дроби.
3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
4) Переписать результат с общим знаменателем.