Преобразование степенных выражений

Математика

Основные правила работы со степенями с целым показателемРассмотрим ключевые свойства, которые позволяют выполнять действия со степенями.

Свойство 1
Если перемножаются степени с одинаковыми основаниями, то основание сохраняется, а показатели складываются:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}.

Пример:

2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7.

Свойство 2
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием из показателя числителя вычитается показатель знаменателя:

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad a \ne 0, , m > n.

Пример:

\dfrac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2.

Свойство 3
Если степень возводится в степень, то основание остаётся, а показатели перемножаются:

(a^m)^n = a^{mn}.

Пример:

(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8.

Свойство 4
При возведении произведения в степень — каждый множитель возводится в эту степень:

(ab)^m = a^m \cdot b^m.

Пример:

(3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2.

Свойство 5
Чтобы возвести частное (или дробь) в степень, необходимо отдельно возвести в степень делимое и делитель:

\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}, \quad b \ne 0.

Пример:

\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{3^2}{5^2}.

Пример
Вычислим значение следующего выражения:

\left(\dfrac{7^4 \cdot 7^5 \cdot 14^{33} \cdot (2^5)^3}{(7 \cdot 2)^{42} \cdot \dfrac{2^{17}}{2^{10}}}\right)^2.

Решение:

Шаг 1. Сначала воспользуемся свойствами степеней, заменим

14 = 7 \cdot 2

и упростим:

\left(\frac{7^{4+5} \cdot (7 \cdot 2)^{33} \cdot 2^{15}}{(7 \cdot 2)^{42} \cdot 2^{17-10}}\right)^2 = \left(\frac{7^9 \cdot 7^{33} \cdot 2^{33} \cdot 2^{15}}{7^{42} \cdot 2^{42} \cdot 2^7}\right)^2

.

Шаг 2. Преобразуем:=

\left(\frac{7^{42} \cdot 2^{48}}{7^{42} \cdot 2^{49}}\right)^2 = \left(\frac{2^{48}}{2^{49}}\right)^2

.

Шаг 3. Выполним деление степеней:=

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

.

Ответ:

\dfrac{1}{4}.