MindCube Академия - Что такое одночлен: коэффициент и степень

В курсе алгебры нередко встречаются выражения, в которых числа, переменные и их степени соединяются между собой только операцией умножения.
Например, $mnp$ , $-\dfrac{kr}{5}$ , $17u^3v^{12}$

Эти выражения получили специальное название $-$ одночлены. Рассмотрим их подробно.

Определение

Одночленом называется алгебраическое выражение, которое представлено в виде произведения чисел, переменных и их степеней.
Иначе говоря, одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей.

$\blacktriangleright$ Пример $1$ . Выражения $4mn$ , $5m^2n$ , $-6z^2zz$ , $-9r(-2)z^3$ — всё это одночлены.

А что насчёт $4$ или $z$ ? Они также считаются одночленами, поскольку можно записать: $4 = 4 \cdot 1$ , $z = z \cdot 1$ .

Какие реальные ситуации можно описать с помощью одночленов?

Одночлен	Ситуация, которую описывает одночлен
$mn$	Площадь прямоугольника со сторонами $m$ и $n$
$y^3$	Объём куба со стороной $x$
$0{,}70с$	Цена товара стоимостью $c$ , продаваемого со скидкой $25\%$
$\dfrac {vt}{3}$	Треть расстояния, пройденного со скоростью $v$ за время $t$

$\blacktriangleright$ Пример $2$ .

Рассмотрим выражения $zzxzy4y(-3)$ и $-3y^2z6z^2y$ .Эти выражения равны при любых $x$ и $y$ , но это не сразу очевидно.

Преобразуем первый одночлен:

$zzxzy4y(-3) = -12zzxzyy = -12z^3x^1y^3 = -12x y^3 z^3$

Второй одночлен:

$-3y^2z6z^2y = -18y^2z z^2 y = -18 y^3 z^3 = -18 z^3 y^3$

Следовательно, они не равны, если числа различны.
Но если в числовом примере будет $-12$ и $-12$ , получим равные одночлены.

Определение

Одночлен стандартного вида — это выражение, в котором числовой множитель записан первым, а все буквенные — по алфавиту и без повторений (в виде степеней).

Коэффициентом одночлена называют его числовой множитель в стандартной форме.

Важно отметить, что число $0$ , а также одночлены, тождественно равные нулю, например, $0x^2$ , $0ab$ , называют нулевыми одночленами. Их не относят к одночленам стандартного вида.

$\blacktriangleright$ Пример $3$ .
В одночлене $7x$ коэффициент — $7$ .

В $-\dfrac{3}{4}mn^2$ коэффициент — $-\dfrac{3}{4}$ .

В $9$ — это $9$ .

В $x^{21}y^7$ — коэффициент $1$ .

В $-bd^4$ — коэффициент $-1$ .

Определите коэффициенты одночленов:

Найдите коэффициенты одночленов:
а) $-qr^3$ ;
б) $87z^2w$ ;
в) $d^4$ ;
г) $-2{,}7$

Ответ:

а) $-1$ ;
б) $87$ ;
в) $1$ ;
г) $-2{,}7$

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

$1)$ перемножаем числовые множители, полученное число будет являться коэффициентом одночлена;

$2)$ перемножаем буквенные множители;

$3)$ упорядочиваем буквенные множители по алфавиту;

$4)$ записываем ответ в виде одночлена стандартного вида.

$\blacktriangleright$ Пример $4$ .

Преобразовать одночлен $-3a^2d^4c2d^3a^3c^2$ .

Решение.

Числовые множители:
$-3 \cdot 2 = -6$
Переменные: $a^2 \cdot a^3 = a^5$ , $d^4 \cdot d^3 = d^7$ ,
$c \cdot c^2 = c^3$
Упорядочиваем: $a^5c^3d^7$
Итог: $-6a^5c^3d^7$

Определение

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него.

$\blacktriangleright$ Пример $5$ .

Для одночлена $4uv^{10}$ имеем: $u^1v^{10} \Rightarrow 1 + 10 = 11$

Замечание: Если одночлен — просто число, не равное нулю, его степень считается нулевой:Например, $17 = 17 \cdot x^0$ , значит, степень — $0$ .

Для одночлена $0$ степень не определена. Это так называемый нулевой одночлен, и он не входит в стандартную форму.

Итоговая таблица:

Одночлен	Коэффициент одночлена	Степень одночлена
$6x^2z^3$	$6$	$5$
$-mnp$	$-1$	$3$
$\dfrac{2}{3}r^4s^2$	$\dfrac{2}{3}$	$6$
$5x$	$5$	$1$
$-9$	$-9$	$1$
$0$	$0$	не определена