Алгебраические дроби: правила сокращения

Можно ли всегда делить одночлены и многочлены друг на друга и получать результат в виде целого выражения?
Разберёмся на примерах.

$\blacktriangleright$ Пример 1.
Разделим одночлен $6x^2y$ на $2x$.
Запишем деление в виде дроби:
$\dfrac{6x^2y}{2x}$.
Далее применим свойства дробей:представим дробь как произведение:
$\dfrac{6}{2} \cdot \dfrac{x^2}{x} \cdot y$;$\dfrac{6}{2} = 3$;
$\dfrac{x^2}{x} = x$ по правилу деления степеней с одинаковым основанием.
В итоге:
$\dfrac{6x^2y}{2x} = 3xy$ — целое алгебраическое выражение.

$\blacktriangleright$ Пример 2.
Выполним деление $8y^2$ на $3xy$.
Получаем:
$\dfrac{8y^2}{3xy} = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{y^2}{y} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{8y}{3x}.$
Здесь результат — не целое, а дробное алгебраическое выражение.
Такой результат приводит к необходимости ввести понятие алгебраической дроби.

Определение
Алгебраической дробью называют выражение вида $\dfrac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены.Напоминаем: одночлены и числа также являются частными случаями многочленов.

Примеры алгебраических дробей:

$\blacktriangleright$ Пример 3.
$\dfrac{1}{n}$ — числитель — число, знаменатель — одночлен;
$\dfrac{t-k}{3tk}$ — числитель — многочлен,
знаменатель — одночлен;
$\dfrac{x^3-5}{2x+7}$ — дробь, где и числитель, и знаменатель — многочлены.

Замечание: любое число, одночлен или многочлен можно считать алгебраической дробью со знаменателем $1$.
Если в такую дробь подставить значения переменных, то результат можно вычислить, если знаменатель не обращается в ноль.

$\blacktriangleright$ Пример 4.
Условия существования алгебраических дробей:
$\dfrac{1}{n}$ — определена при $n \ne 0$;$\dfrac{t-k}{3tk}$ — существует при $t \ne 0$ и $k \ne 0$;$\dfrac{x^3 - 5}{2x + 7}$ — допустима при $x \ne -3{,}5$.

Вопрос: При каких $a$ имеет смысл выражение
$\dfrac{7b}{a-5}$?
Ответ:
При всех $a$, кроме $a = 5$, т.е. $a \ne 5$.

Сокращение алгебраических дробей
Алгебраические дроби можно умножать, делить и сокращать.
Сокращение базируется на основном свойстве дроби:
Основное свойство алгебраической дроби:
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же (не равное нулю) выражение, результат будет эквивалентен исходной дроби.

$\blacktriangleright$ Пример 5.
$\dfrac{m}{n} = \dfrac{mt}{nt}$ при $t \ne 0$.
Также, знак «минус» можно перенести из переддробной позиции либо в числитель, либо в знаменатель: