Как делить одночлены

Математика

Как выполнить деление одночленов

Мы уже умеем выполнять сложение и вычитание подобных одночленов, умножение и возведение одночлена в степень.
Теперь разберёмся, как выполнять деление одночленов, и при каких условиях это действие допустимо.

Определение
Деление одночленов — это операция, обратная умножению одночленов.
Например:

2ab \cdot 3a = 6a^2b \quad \Rightarrow \quad 6a^2b : 3a = 2ab \quad \text{или} \quad \dfrac{6a^2b}{3a} = 2ab.

При делении одночленов:делятся коэффициенты,делятся одинаковые буквенные множители:

x^m : x^n = x^{m-n}

при

m \geq n

.

Пример 1
Выполним деление:

(21x^4y^3) : (3x^2y^2)

Решение:

(21x^4y^3):(3x^2y^2) = (21:3) \cdot (x^4:x^2) \cdot (y^3:y^2) = 7x^2y.

(21x^4y^3):(0x^2y^2) = 21:0 \cdot (x^4:x^2) \cdot (y^3:y^2) \quad \text{— деление на 0 не определено.}

(21x^4y^3):(3x^5y^2) = 21:3 \cdot x^4:x^5 \cdot y^3:y^2,

но

x^4:x^5 = x^{-1}

— это пока не определено в рамках степеней с натуральным показателем.

Вывод
Деление одночлена на одночлен возможно, если:коэффициент делителя не равен нулю,степени всех переменных в делимом не меньше, чем в делителе.

Алгоритм деления одночлена на одночлен:
Выполнить деление числовых коэффициентов;
Разделить одинаковые буквенные множители;
Записать ответ в виде одночлена стандартного вида.

Пример 2
Выполните деление:

(4x^2y^3) : (4x^2y^3)

Решения:

(4x^2y^3):(4x^2y^3) = 1.

(-6a^5b^2c^3):(4a^2bc) = -\dfrac{6}{4} \cdot a^{5-2} \cdot b^{2-1} \cdot c^{3-1} = -1{,}5a^3bc^2.

\dfrac{72x^3y^2z^5}{18xy^2z^4} = \dfrac{72}{18} \cdot \dfrac{x^3}{x} \cdot \dfrac{y^2}{y^2} \cdot \dfrac{z^5}{z^4} = 4x^2z.

Пример из практики
Задача:Во сколько раз изменится площадь участка, если длину увеличить в 3 раза, а ширину уменьшить в 2 раза?
Решение:Изначальная площадь:

S = ab

Новая длина:

3a

, новая ширина:

0{,}5b

Новая площадь:

3a \cdot 0{,}5b = 1{,}5ab

Изменение:

\dfrac{1{,}5ab}{ab} = 1{,}5.

Ответ: площадь увеличится в

1{,}5

раза.