Возведение степени в степень
Мы уже изучили правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Теперь давайте разберемся, как правильно возводить степень в степень.
Основное правило
Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n выполняется следующее равенство:
(am)n = am·n.
Доказательство правила
Согласно определению степени с натуральным показателем, мы можем записать:
(am)n = am · am · ... · am (всего n множителей) = am + m + ... + m (всего n раз) = am·n.
Таким образом, теорема доказана.
Расширение правила
Это свойство можно также применить к сложным выражениям. Например, для натуральных чисел p, q, r и s верно следующее:
(((ap)q)r)s = ap·q·r·s.
Важно запомнить
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается прежним:
(am)n = am·n.
Примеры
Рассмотрим несколько примеров:
- (85)4 = 85·4 = 820
- (am)2 = am·2 = a2m
- (x4)2 = x8
- (((8.54)2)7 = 8.54·2·7 = 8.556
Упрощение выражений
Упростим следующие выражения:
- (x4)5 · (x6)7
- (-x2)5
- (-x3)2
Решение:
- Используя правило возведения степени в степень и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, получаем:
(x4)5 · (x6)7 = x20 · x42 = x62.
- Поскольку -x2 = -1 · x2, применяем правило возведения произведения в степень:
(-x2)5 = (-1 · x2)5 = (-1)5 · (x2)5 = -1 · x10 = -x10.
- (-x3)2 = (-1 · x3)2 = (-1)2 · (x3)2 = 1 · x6 = x6.
Делимость выражения
Задача: Докажите, что выражение 34n - 1 делится на 10 для любого натурального n.
Чтобы число делилось на 10, оно должно заканчиваться на 0.
34n = (34)n = 81n.
81n = (80 + 1)n = 80n + ... + n · 80 + 1 = (... ) · 10 + 1.
Таким образом, последняя цифра 81n всегда будет 1. Следовательно, последняя цифра выражения 34n - 1 будет 0. Это означает, что 34n - 1 делится на 10 для любого натурального n.