Свойства степени с целым показателем

Математика

Свойства степени с целым показателем аналогичны свойствам степени с натуральным показателем. Свойства степеней с целыми показателямиДля любых целых mm, nn и рациональных a≠0a \ne 0, b≠0b \ne 0 верны следующие свойства:

a−n=1an,a^{-n} = \dfrac{1}{a^n},
am⋅an=am+n,a^m \cdot a^n = a^{m + n},
aman=am−n,\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n},
(am)n=amn,(a^m)^n = a^{mn},
(ab)n=an⋅bn,(ab)^n = a^n \cdot b^n,
(ab)n=anbn.\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с отрицательным показателем:
a−n=1an,a≠0,a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a \ne 0,
а также на свойства степени с натуральным показателем. Доказательство свойствПусть mm, nn — натуральные числа, aa и bb — рациональные числа, a≠0a \ne 0, b≠0b \ne 0. 1) Умножение степеней с одинаковыми основаниями:
am⋅an=am+n.a^m \cdot a^n = a^{m + n}.
Подставим n=−nn = -n:
am⋅a−n=am⋅1an=am−n=am+(−n).a^m \cdot a^{-n} = a^m \cdot \dfrac{1}{a^n} = a^{m - n} = a^{m + (-n)}.
Подставим m=−mm = -m:
a−m⋅a−n=1am⋅1an=1am+n=a−(m+n)=a(−m)+(−n).a^{-m} \cdot a^{-n} = \dfrac{1}{a^m} \cdot \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{1}{a^{m + n}} = a^{-(m + n)} = a^{(-m) + (-n)}.
Вывод: при перемножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, независимо от их знака. 2) Деление степеней с одинаковыми основаниями:
aman=am−n.\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}.
Подставим n=−nn = -n:
ama−n=am:a−n=am:1an=am⋅an=am+n=am−(−n).\dfrac{a^m}{a^{-n}} = a^m : a^{-n} = a^m : \dfrac{1}{a^n} = a^m \cdot a^n = a^{m + n} = a^{m - (-n)}.
Теперь подставим m=−mm = -m:
a−ma−n=a−m:a−n=1am:1an=anam=an−m=a(−m)−(−n).\dfrac{a^{-m}}{a^{-n}} = a^{-m} : a^{-n} = \dfrac{1}{a^m} : \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} = a^{(-m) - (-n)}.
Вывод: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, независимо от их знака. 3) Возведение степени в степень:
(am)n=amn.(a^m)^n = a^{mn}.
Подставим m=−mm = -m:
(a−m)n=(1am)n=1(am)n=1amn=a−mn=a(−m)⋅n.(a^{-m})^n = \left( \dfrac{1}{a^m} \right)^n = \dfrac{1}{(a^m)^n} = \dfrac{1}{a^{mn}} = a^{-mn} = a^{(-m) \cdot n}.
Подставим n=−nn = -n:
(am)−n=1(am)n=1amn=a−mn=am⋅(−n).(a^m)^{-n} = \dfrac{1}{(a^m)^n} = \dfrac{1}{a^{mn}} = a^{-mn} = a^{m \cdot (-n)}.
Вывод: при возведении степени в степень показатели перемножаются. 4) Возведение произведения в степень:
(ab)n=an⋅bn.(ab)^n = a^n \cdot b^n.
Подставим n=−nn = -n:
(ab)−n=1(ab)n=1an⋅bn=1an⋅1bn=a−n⋅b−n.(ab)^{-n} = \dfrac{1}{(ab)^n} = \dfrac{1}{a^n \cdot b^n} = \dfrac{1}{a^n} \cdot \dfrac{1}{b^n} = a^{-n} \cdot b^{-n}.
Вывод: при возведении произведения в степень каждый множитель можно возводить в эту степень по отдельности. 5) Возведение частного в степень:
(ab)n=anbn.\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.
Рассмотрим отрицательную степень:
(ab)−n=1(ab)n=1anbn=bnan=a−nb−n.\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a}{b} \right)^n} = \dfrac{1}{\dfrac{a^n}{b^n}} = \dfrac{b^n}{a^n} = \dfrac{a^{-n}}{b^{-n}}.
Вывод: при возведении дроби в степень можно возводить в эту степень числитель и знаменатель по отдельности.

Top.Mail.Ru