Разложение многочлена на множители: метод группировки

Математика

Определение

Разложить многочлен $P(x)$ степени $n$ на множители — это значит представить его как произведение нескольких многочленов, каждый из которых имеет степень больше нуля, но меньше $n$ .

Замечание

Из определения следует, что любой множитель, входящий в такое разложение, является делителем исходного многочлена без остатка.

Наиболее базовый и доступный способ разложения — это метод выделения общего множителя и группировки членов.

$\blacktriangleright$ Пример 1.
Разложите выражение $3x^3 + 2x^2 - 9x - 6$ на множители.

Решение
Разобьём на группы:

3x^3 + 2x^2 - 9x - 6 = x^2(3x + 2) - 3(3x + 2) = (3x + 2)(x^2 - 3)

Далее можно продолжить, если второй множитель — разность квадратов:

= (3x + 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})

$\blacktriangleright$ Пример 2.
Разложите многочлен

x^3 + 3x^2 - 4x - 12

на множители.

Решение
Группируем слагаемые:

x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 4) = (x + 3)(x - 2)(x + 2)

Комментарий
Главный недостаток этого подхода — ограниченность применения: он не работает для всех многочленов, но эффективен там, где удаётся сгруппировать члены с общими множителями.