Сложение и вычитание алгебраических дробей

Чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, достаточно сложить или вычесть числители, оставив знаменатель без изменений. Если знаменатели различны, то сначала следует привести дроби к одному знаменателю, а затем уже выполнить действия с числителями.

$\blacktriangleright$ Пример 1.
Выполним действия с обычными дробями.
$1)$ $\dfrac{12}{17}+\dfrac{3}{17} = \dfrac{12+3}{17} = \dfrac{15}{17}.$
$2)$ $\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{48}$
Найдём общий знаменатель — $240$.
После этого выполняем вычитание:
$\frac{1}{20} = \frac{12}{240}, \quad \frac{1}{48} = \frac{5}{240}, \quad \Rightarrow \frac{12}{240} - \frac{5}{240} = \frac{7}{240}$.

Теперь рассмотрим сложение и вычитание алгебраических дробей.
Алгоритм выполнения тот же, что и в случае с обыкновенными дробями.

$\blacktriangleright$ Пример 2.
Выполним действия с дробями, содержащими переменные.
$1)$ $\dfrac{x}{145} + \dfrac{y}{145}$
Знаменатели одинаковые, поэтому просто складываем числители:
$\frac{x}{145} + \frac{y}{145} = \frac{x + y}{145}$2)$$\dfrac{x^2 + 3}{y} - \dfrac{x^2 - 7y + 3}{y}KaTeX can only parse string typed expression\frac{(x^2 + 3) - (x^2 - 7y + 3)}{y}$.$\frac{x^2 + 3 - x^2 + 7y - 3}{y} = \frac{7y}{y} = 7$.$\blacktriangleright$Пример 3.$1)$$\dfrac{a + b}{8 - x} + \dfrac{b}{x - 8}KaTeX can only parse string typed expression8 - x$и$x - 8$противоположны.$\frac{b}{x - 8} = -\frac{b}{8 - x}$.$\frac{a + b}{8 - x} - \frac{b}{8 - x} = \frac{a + b - b}{8 - x} = \frac{a}{8 - x}KaTeX can only parse string typed expression2)$$\dfrac{x}{x - 3} - \dfrac{6x^2 - 7}{x^2 - 9}$.$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.$(x - 3)(x + 3)$.$\frac{x}{x - 3} = \frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}, \quad \text{а вторая дробь уже имеет этот знаменатель.}$.$\frac{x(x + 3) - (6x^2 - 7)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 3x - 6x^2 + 7}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{-5x^2 + 3x + 7}{(x - 3)(x + 3)}$.

Аналогично выполняется операция для любого количества алгебраических дробей.

Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей:
Если дроби имеют одинаковые знаменатели, складываем или вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним.
Если знаменатели разные, приводим дроби к общему знаменателю, затем выполняем действие.
Если возможно, упрощаем итоговую дробь (сокращаем).