Одночлена и многочлены

Математика

Определение

Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение числового коэффициента, переменных и их натуральных степеней.

Примеры одночленов

$5x$ , $mn$ , $4m^2n^3p$ .

Определение

Многочленом называется сумма конечного числа одночленов. Слагаемые, из которых состоит такая сумма, именуются членами многочлена.

Примеры многочленов

$4s^2 + 1$ , $x^2 + 3xy + y^2$ , $9ab^3 - a^2b + 5a - 2b$ .

Каждый одночлен можно считать частным случаем многочлена.

Нулевое число также считается многочленом и называется нулевым многочленом.

Свойства многочленов.

Члены многочлена можно переставлять местами без изменения самого выражения. То есть, два многочлена считаются равными, если они различаются лишь порядком слагаемых.
Прибавление нулевого многочлена не влияет на значение выражения.
Подобные члены можно объединять, заменяя их их алгебраической суммой.

Чтобы привести многочлен к упрощённому виду, необходимо:
1) Упростить все одночлены.
2) Сгруппировать и объединить подобные слагаемые.

Определение

Степенью многочлена называют максимальную из степеней его членов в стандартном виде.

При сложении и вычитании многочленов нужно пользоваться правилами раскрытия скобок.

Пример

$(3mn - 6p) - (m^2n + 2p) = 3mn - 6p - m^2n - 2p = 3mn - 8p - m^2n;$

$(3mn - 6p) + (m^2n + 2p) = 3mn - 6p + m^2n + 2p = 3mn - 4p + m^2n.$

При умножении одночлена на многочлен, одночлен умножается на каждый член многочлена и произведения складываются.
При умножении многочлена на многочлен, каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго и произведения складываются.

Пример

$3x(4xy + x^2y^2) = 12x^2y + 3x^3y^2;$

$(3x + y)(4xy + x^2y^2) = 12x^2y + 3x^3y^2 + 4xy^2 + x^2y^3.$