Как делить многочлен на одночлен

Нам известно, как умножать многочлен на одночлен или на многочлен.
При соблюдении определённых условий можно делить многочлен, причём как на одночлен, так и на многочлен.
Вначале выясним, при каких условиях можно делить многочлен на одночлен и как это делать.

$\blacktriangleright$ Пример $1$.
Спортсмен на соревнованиях по бегу на стадионе 10 минут бежал со скоростью $x$ м/мин, а затем — 15 минут со скоростью $y$ м/мин.
Составьте алгебраическое выражение для определения количества кругов, которые пробежал спортсмен, если длина одного круга z метров.

Решение.
За 10 минут спортсмен пробежал $10x$ метров, за следующие 15 минут — ещё $15y$ метров.
Всего он пробежал $10x + 15y$ метров.
Чтобы найти количество кругов, нужно разделить это расстояние на длину одного круга:
$\frac{10x + 15y}{z} \text{ кругов}$.

Это же выражение можно получить другим способом:
$\frac{10x}{z} + \frac{15y}{z}$,
то есть каждый член числителя делится на $z$.
Таким образом,
$\frac{10x + 15y}{z} = \frac{10x}{z} + \frac{15y}{z}$.

Вывод:
чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

Деление каждого одночлена выполняется по уже известным правилам, при условии, что:
коэффициент делителя не равен нулю;
степень переменной в числителе не меньше степени этой переменной в знаменателе.

Правило
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на данный одночлен и полученные результаты сложить.

$\blacktriangleright$ Пример $2$.
Выполните деление
$(9a^5 + 18a^4 - 6a^3) : (3a^3)$.

Решение.
Проверим, что деление каждого члена определено.
Тогда:
$\frac{9a^5}{3a^3} + \frac{18a^4}{3a^3} - \frac{6a^3}{3a^3} = 3a^2 + 6a - 2$.

Обратите внимание: результат деления — многочлен, так как все частные являются одночленами.
Однако так бывает не всегда.
Например, при делении
$\frac{16a^3 - b}{2a^2}$,
первая дробь $\frac{16a^3}{2a^2} = 8a$ — это одночлен,
но вторая дробь $\frac{-b}{2a^2}$ — не одночлен, а алгебраическая дробь.
Следовательно, результат выражения не является многочленом. Если нужно, могу так же оформить следующие разделы.