Рациональные уравнения

Рациональным называется уравнение вида

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причём $Q(x) \not\equiv 0$ (то есть знаменатель не тождественно равен нулю).

Смысл уравнения

Равенство дроби нулю возможно только в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. То есть:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases}P(x) = 0, \\Q(x) \ne 0.\end{cases}$

Что это значит на практике

Решаем уравнение
$P(x) = 0$ — это даст возможные корни.
Убираем из них те, при которых $Q(x) = 0$ — они исключаются из ответа, поскольку при них выражение не имеет смысла (деление на ноль).

Пример

Решите уравнение:
$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0.$
Решение:
Найдём нули числителя:
$x^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3)(x + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \text{ или } x = -3.$

Учитываем ОДЗ (область допустимых значений):
$x - 3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne$

3.Исключаем корень, при котором знаменатель обращается в ноль.
Остаётся:$\boxed{x = -3}.$