Нам известны действия с алгебраическими дробями: сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю, сложение и вычитание дробей, умножение и деление, возведение дроби в степень.
Рассмотрим преобразования выражений, содержащих алгебраические дроби, в которых нужно выполнять все или некоторые из этих действий.
Для выполнения действий в выражениях важен порядок: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, далее умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (также слева направо).
▶ Пример 1.
Преобразуем выражение
(4ab9a2−3b2+5b4b−a)÷(3a2a+b−16a25b2−3a2).
Решение.
Определим порядок действий:сначала сложение в первых скобках,затем вычитание во вторых скобках,после этого деление.
Всего 3 действия.
1) Сложим дроби:
4ab9a2−3b2+5b4b−a.
Приводим к общему знаменателю 20ab:
20ab(9a2−3b2)⋅5+20ab(4b−a)⋅4a=20ab45a2−15b2+16ab−4a2.
Приводим подобные слагаемые:
20ab41a2+16ab−15b2.
2) Вычтем дроби:3a2a+b−16a25b2−3a2.
Общий знаменатель — 48a2:48a2(2a+b)⋅16a−48a2(5b2−3a2)⋅3=48a232a2+16ab−15b2+9a2.
Собираем:48a241a2+16ab−15b2.
3) Делим полученные дроби:
20ab41a2+16ab−15b2÷48a241a2+16ab−15b2=20ab41a2+16ab−15b2⋅41a2+16ab−15b248a2.
Сокращаем одинаковые числитель и знаменатель:
20ab48a2=5b12a. Ответ:(4ab9a2−3b2+5b4b−a)÷(3a2a+b−16a25b2−3a2)=5b12a.
Упростите выражение
(x2−y2x2+y2)2−(x2−y22xy)2.
Решение.Используем формулу разности квадратов:a2−b2=(a−b)(a+b).
(x2−y2x2+y2)2−(x2−y22xy)2=(x2−y2x2+y2−x2−y22xy)⋅(x2−y2x2+y2+x2−y22xy).
Вычисляем каждую скобку:
Первая скобка:
x2−y2x2+y2−2xy=x2−y2(x−y)2.
Вторая скобка:
x2−y2x2+y2+2xy=x2−y2(x+y)2.
Подставляем обратно:
x2−y2(x−y)2⋅x2−y2(x+y)2=(x2−y2)2(x−y)2(x+y)2. Но x2−y2=(x−y)(x+y), поэтому:(x2−y2)2=(x−y)2(x+y)2.
Следовательно:
(x−y)2(x+y)2(x−y)2(x+y)2=1.
Ответ: 1.