Как найти рациональные корни многочлена

Математика

Иногда подобрать корень уравнения на глаз оказывается непросто.
Возьмём, к примеру, уравнение

245x^3 - 63x^2 - 24x + 4 = 0.

После подстановки различных целых значений

x

— сначала положительных, затем отрицательных — можно убедиться, что ни одно из них не обращает уравнение в тождество.

Пробуем дроби вроде

\pm \dfrac{1}{2}

\pm \dfrac{1}{3}

\pm \dfrac{1}{4}

и даже

\pm \dfrac{3}{5}

— всё безуспешно.

Кажется, будто решений вообще нет.
Однако это неверно: корни есть, и их ровно три.
Как их отыскать?

В таких ситуациях помогает следующая теорема.

Теорема
Пусть число

x = \dfrac{p}{q}

,
где

p \in \mathbb{Z}

q \in \mathbb{N}

,
и дробь несократима, является корнем уравнения

a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0,

в котором все коэффициенты

a_i

— целые числа.
Тогда:числитель

p

делит свободный член

a_0

;знаменатель

q

делит старший коэффициент

a_n

.

Применим теорему
Вернёмся к уравнению:

245x^3 - 63x^2 - 24x + 4 = 0.

Старший коэффициент:

245 = 5 \cdot 7^2

,
Свободный член:

4

.
Тогда:
возможные значения

q

1, 5, 7, 35, 49, 245

;
возможные значения

p

\pm 1, \pm 2, \pm 4

.
Значит, допустимые рациональные корни — это числа из множества:

\Big\{ \pm 1, \pm 2. \pm 4, \pm \dfrac{1}{5}, \pm \dfrac{2}{5}, \pm \dfrac{4}{5}, \pm \dfrac{1}{7}, \pm \dfrac{2}{7}, \pm \dfrac{4}{7},

Подставляя значения из этого набора, обнаруживаем, что

x = \dfrac{2}{5}

обращает левую часть уравнения в ноль.
Значит, это корень.
Теперь делим многочлен

245x^3 - 63x^2 - 24x + 4

на

(x - \dfrac{2}{5})

и получаем:
245x^2 + 35x - 10.

KaTeX can only parse string typed expression

245x^2 + 35x - 10 = 0,

KaTeX can only parse string typed expression

x = \dfrac{1}{7}, \quad x = -\dfrac{2}{7}.

KaTeX can only parse string typed expression

x^k - n = 0. KaTeX can only parse string typed expression

Так как коэффициенты уравнения — целые числа, то по теореме о рациональных корнях

x

должен быть целым.
Но корень

k

-й степени из

n

не может быть отрицательным или дробным, следовательно,

x

— натуральное число.