Что такое многочлен в алгебре

Мы уже знаем, что такое одночлены в алгебре. Если складывать или вычитать подобные одночлены, то результатом также будет одночлен. А как быть, если одночлены не подобны? Их сумма или разность образует новое выражение, которое имеет собственное название — многочлен. Рассмотрим это понятие подробнее.

$\blacktriangleright$ Пример $1$. Рассмотрим примеры многочленов. 

$1)$ Выражение $x^2 + xy + y^2$ — сумма трёх различных одночленов.
Такой многочлен называют трёхчленом.
Многочлен $a^3 + b^4$ состоит из двух одночленов — это двучлен.

$2)$ Число $4$ может рассматриваться как одночлен (например, $4x^0$), а также как многочлен из одного члена ($4 + 0$).
Такие многочлены называют одночленами.

$3)$ Выражение
$4m^2n - n^3 + 3t - \dfrac{n}{7}$ — это многочлен из четырёх членов:
$4m^2n$, $-n^3$, $3t$, $\left(-\dfrac{n}{7}\right)$.
Многочлены, включающие более четырёх членов, не имеют отдельных специальных названий.

$4)$ Однако выражение $4m^2n - n^3 + 3t - \dfrac{7}{n}$ не является многочленом, потому что $\left(-\dfrac{7}{n}\right)$ не является одночленом (в знаменателе — переменная). В отличие от него, $\left(-\dfrac{n}{7}\right)$ — это допустимый одночлен.

Любой одночлен можно записать как сумму с нулевым одночленом, следовательно, его можно считать и многочленом.

Многочлены часто встречаются при решении алгебраических задач, и, как правило, они могут быть записаны разными способами благодаря свойствам арифметических операций.

Чтобы упростить вычисления и преобразования, выражение удобно приводить к стандартному виду, при котором все одночлены упорядочены, записаны корректно и все подобные члены объединены.

$\blacktriangleright$ Пример $3.$