Степень с целым показателем

Вспомним правило деления степеней с натуральными показателями:

$a^m:a^n =a^{m-n},$
где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $m > n$.
А что делать, если $m < n$?
В этом случае в формуле получится степень с отрицательным показателем.
А мы пока знаем только, как работать со степенями с положительными натуральными показателями.

Попробуем разобраться на конкретном примере, чему может быть равна степень с отрицательным целым показателем, используя уже известные определения и свойства степеней.

$\blacktriangleright$ Пример $1$.
Найдём значение выражения $a^4 : a^9$.

Решение
$a^4 : a^9 = \dfrac{a^4}{a^9} = \dfrac{a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \dfrac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \dfrac{1}{a^5}.$

С другой стороны, если продолжать пользоваться правилом
$a^m : a^n = a^{m-n}$,
то мы получим $a^{4-9} = a^{-5}$.
Значит, логично определить, что $a^{-5} = \dfrac{1}{a^5}$.
Таким образом, степень с отрицательным целым показателем можно определить так:

Определение

Если $a \ne 0$, $n \in \mathbb{N}$, то степень с отрицательным показателем определяется следующим образом: