Арифметические операции с многочленами

 Определение
Сложение двух многочленов — это операция, результатом которой является многочлен, включающий все члены исходных многочленов.

Пример
Пусть заданы многочлены
$p(x)=4x^3+3x^2+6$ и $q(x)=-2x^2+7x$,
тогда их сумма:

Определение
Вычитание двух многочленов означает, что от одного многочлена отнимается другой, при этом каждый его член берётся с противоположным знаком.

Пример
Для тех же многочленов
$p(x)=4x^3+3x^2+6$ и $q(x)=-2x^2+7x$,
их разность:


Определение
Умножение одночлена на многочлен — это многочлен, в котором каждый член исходного многочлена умножается на данный одночлен.

Пример
Пусть $p(x)=4x^2$ и $q(x)=-2x^2+7x$.
Тогда их произведение:

Определение
Произведение двух многочленов — это сумма всех произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго.
Чтобы найти это произведение, нужно перемножить все члены попарно и сложить полученные одночлены.

Пример
Рассмотрим многочлены
$p(x)=4x^3+3x^2+6$ и $q(x)=-2x^2+7x$.
Тогда их произведение:
$p(x) \cdot q(x) = (4x^3 + 3x^2 + 6)(-2x^2 + 7x) == -8x^5 + 28x^4 - 6x^4 + 21x^3 -12x^2 + 42x = -8x^5 + 22x^4 + 21x^3 -12x^2 + 42x$.