Правила работы со степенями с одинаковыми показателями

Математика

Степени с одинаковыми показателями и разными основаниями.

Ранее мы изучили, как выполнять действия со степенями с одинаковыми основаниями.
Теперь рассмотрим действия над степенями, у которых одинаковые показатели, но разные основания.

Теорема 1
Пусть $a$ и $b$ — произвольные числа, а $n$ — натуральное число. Тогда:

(ab)^n = a^n \cdot b^n.

Доказательство:
По определению степени:

(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n\ \text{раз}}.

Применяя переместительное и сочетательное свойства умножения, можно сгруппировать множители:

= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{n\ \text{раз}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}{n\ \text{раз}} = a^n \cdot b^n.

Теорема доказана.

Обобщение:
Это свойство справедливо и для большего числа множителей:

(a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k)^n = a_1^n \cdot a_2^n \cdot \ldots \cdot a_k^n.

При возведении произведения в степень — каждый множитель возводится в эту степень, а затем результаты перемножаются.

(ab)^n = a^n b^n

$\blacktriangleright$ Пример 1.
Преобразуем:

(xy)^5 = x^5 y^5

Теорема 2
Пусть

a

b

— рациональные числа,

b \ne 0

n \in \mathbb{N}

. Тогда:(a : b)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.

Или в виде дроби:

\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.

KaTeX can only parse string typed expression

\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n\ \text{раз}}.

Умножая дроби:

= \dfrac{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b} = \dfrac{a^n}{b^n}.KaTeX can only parse string typed expression
Теорема доказана.

Вывод:Чтобы возвести дробь в степень, достаточно возвести в неё отдельно числитель и знаменатель:

(a : b)^n = \dfrac{a^n}{b^n},\quad b \ne 0

$\blacktriangleright$ Пример 2
Вычислим:

3^{50} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{49}

Решение:

3^{50} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{49} = 3^{50} \cdot \frac{1^{49}}{3^{49}} = \frac{3^{50}}{3^{49}} = 3^{1} = 3

.

Иногда полезно применять обратное правило:

a^n \cdot b^n = (ab)^n,

\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n.