MindCube Академия - Рациональные числа

К рациональным числам относят целые и дробные числа, а именно: обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Множество рациональных чисел принято обозначать буквой $\mathbb{Q}$ .

Например, рациональными числами являются $\left(-\dfrac{1}{3}\right)$ ; $6{,}4$ ; $1$ ; $5\dfrac{7}{11}$ ; $-3{,}(3)$ .

Можно сказать, что $6{,}4$ принадлежит множеству рациональных чисел и записать это следующим образом: $6{,}4 \in \mathbb{Q}$ .

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ .

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ включает в себя множество целых чисел $\mathbb{Z}$ и натуральных чисел $\mathbb{N}$ .

Схематично это можно представить вот так:

Определение

Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде частного от деления целого числа на натуральное:

$\dfrac{m}{n} (m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}).$

Положительные и отрицательные рациональные числа

Положительным рациональным числом называется число, которое может быть представлено в виде частного от деления двух натуральных чисел: $\dfrac{p}{q}$ , где $p$ и $q$ — натуральные числа.

Отрицательное рациональное число — это число вида $\left(- \dfrac{p}{q}\right)$ , где $p$ и $q$ — натуральные числа.

Соответственно, рациональные числа — это все рациональные положительные, рациональные отрицательные и нуль.

Представление рационального числа

Согласно правилу сокращения дробей, если числитель и знаменатель дроби имеют общий целый делитель, то на него можно сократить:

$\dfrac{pn}{qn}=\dfrac{p}{q}.$

Таким образом, каждое рациональное число не единственным образом представляется в виде отношения двух натуральных чисел:

$\frac{48}{32} = \frac{6 \cdot 8}{4 \cdot 8} = \frac{6}{4};$

$\frac{63}{45} = \frac{7 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{7}{5};$

$\frac{54}{72} = \frac{3 \cdot 18}{4 \cdot 18} = \frac{3}{4}.$

Определение

Если числитель положительного рационального числа меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной. Иначе дробь называется неправильной.

Сравнение рациональных чисел

Про любые два рациональных числа можно сказать ровно одно из следующих утверждений:

$a < b$ ( $a$ меньше, чем $b$ ), $a = b$ ( $a$ равно $b$ ) или $a > b$ ( $a$ больше, чем $b$ ).

При этом:

любое положительное число больше нуля;
любое положительное число больше любого отрицательного;
нуль больше любого отрицательного.

Для сравнения двух рациональных чисел нужно привести их к общему знаменателю и сравнить числители: чем больше числитель, тем больше число.