Производные элементарных функций

К основным элементарным функциям относятся: линейная функция, степенная функция, корень $n$-ой степени, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Элементарными также считаются функции, полученные из них с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Определение

Формулы, по которым находят производные элементарных функций, называются формулами дифференцирования.Напомним базовые формулы:$C’ = 0$$(\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Производная степенной функции при $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$Функция $f(x) = x^n$ дифференцируема на всей области определения, и:$(x^n)’ = nx^{n-1}$

Доказательство

Для любого $x_0$:$f’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{(x_0 + \Delta x)^n - x_0^n}{\Delta x}$

Разложим по биному Ньютона:$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{C_n^1 x_0^{n-1} \Delta x + C_n^2 x_0^{n-2} (\Delta x)^2 + \dots + (\Delta x)^n}{\Delta x}$$= C_n^1 x_0^{n-1} = n x_0^{n-1}$

Поскольку $x_0$ выбрано произвольно, формула верна для любого $x$:$f’(x) = nx^{n-1}$

Производная функции с целым отрицательным показателем

Если $n$ — целое отрицательное число, то:$(x^n)’ = nx^{n - 1}$

ДоказательствоПусть $n = -m$, где $m \in \mathbb{N}$.

Тогда:$(x^{-m})’ = \left(\dfrac{1}{x^m}\right)’ = \dfrac{0 \cdot x^m - m x^{m - 1}}{x^{2m}} = -m x^{-m - 1} = nx^{n - 1}$ Производная функции $x^r$, где $r \in \mathbb{R}$

Для любого действительного $r$:$(x^r)’ = r x^{r - 1}$

Производная показательной функцииЕсли $f(x) = a^x$, где $a > 0$, $a \neq 1$, то:$(a^x)’ = a^x \ln a$

Доказательство

Используем равенство $a^x = e^{x \ln a}$, тогда:$(a^x)’ = (e^{x \ln a})’ = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$

Производная натурального логарифма$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

Производная логарифма по произвольному основанию

Если $f(x) = \log_a x$, то:$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x \ln a}$

Доказательство$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ — постоянный множитель.

Тогда:$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’ = \dfrac{1}{x \ln a}$

Производные тригонометрических функций$(\sin x)’ = \cos x$$(\cot x)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Доказательство (для $\sin x$)$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x_0 + \Delta x) - \sin x_0}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( \dfrac{\sin(\Delta x / 2)}{\Delta x / 2} \cdot \cos(x_0 + \Delta x / 2) \right) = \cos x_0$

Таблица производных$c’ = 0$

Важно: при дифференцировании сначала применяются правила, затем — формулы. $\blacktriangleright$

Пример 1а) $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 7$б) $f(x) = (3x + 2)^3$

Решениеа)$f’(x) = 6x^2 - 8x + 5$б)$f’(x) = 3(3x + 2)^2 \cdot 3 = 9(3x + 2)^2$

Или раскроем сначала скобки:$f(x) = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8$, тогда$f’(x) = 81x^2 + 108x + 36$ $\blacktriangleright$ Пример 2а) $f(x) = x^{-4}$б) $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$в) $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$

Решениеа)$f’(x) = -4x^{-5}$б)$f’(x) = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$в)$f’(x) = \dfrac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}}$ $\blacktriangleright$

Пример 3а) $f(x) = e^{x + 1} + \log_3 x$, $x_0 = 3$б) $f(x) = 2\sin x - \tan x + 1$, $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$