Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

В статье «Площадь криволинейной трапеции» рассматривалось понятие интегральной суммы и её связь с вычислением площади. В этой статье познакомимся с близким и важным понятием — определённым интегралом.

Определение

Определённым интегралом от функции $y = f(x)$ на отрезке $[p; q]$ называют предел соответствующих интегральных сумм.

Обозначается:

Теорема 1

Если функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $[p; q]$, то существует определённый интеграл:

Теорема 2

Если функция $y = f(x)$ ограничена на отрезке $[p; q]$ и непрерывна на нём, за исключением конечного числа точек разрыва, то определённый интеграл:

Теорема 3 (геометрический смысл)

Если у функции $f(x)$ существует определённый интеграл на отрезке $[p; q]$, то он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми $x = p$ и $x = q$:

Замечание:

Если график функции расположен выше оси $Ox$, то значение интеграла совпадает с геометрической площадью $S$ фигуры.

Если график находится ниже оси $Ox$, то значение интеграла равно $-S$, где $S$ — геометрическая площадь.

Теорема (формула Ньютона–Лейбница)

Пусть функция $f(x)$ имеет первообразную $F(x)$ на отрезке $[p; q]$, и на этом отрезке функция имеет лишь конечное число разрывов.

Тогда:

Или в другом виде:

Пример

Вычислим определённый интеграл:

Применим формулу Ньютона–Лейбница: