Предел функции и правила дифференцирования

Математика

Определение


Число AA называется пределом функции f(x)f(x) в точке x1x_1, если для каждого числа ε>0\varepsilon > 0 найдётся такое число δ>0\delta > 0, что для всех xx, удовлетворяющих неравенству 0<∣x−x1∣<δ0 < |x - x_1| < \delta, выполняется:

∣f(x)−A∣<ε.|f(x) - A| < \varepsilon.

Обозначается это так:
lim⁡x→x1f(x)=A.\lim\limits_{x \to x_1} f(x) = A.

То же самое определение с использованием кванторов:

∀ε>0 ∃δ>0: ∀x: 0<∣x−x1∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ε.\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\ \forall x:\ 0 < |x - x_1| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon.


Определение


Если существует конечный предел
lim⁡x→x1f(x)−f(x1)x−x1,\lim\limits_{x \to x_1} \dfrac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1},
то он называется производной функции f(x)f(x) в точке x1x_1 и обозначается:
f’(x1).f’(x_1).


Если в каждой точке некоторого промежутка существует производная, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке.


Правила вычисления производных


Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) дифференцируемы в точке xx, а CC — произвольная константа.


Тогда:

C’=0C’ = 0
(C⋅f(x))’=C⋅f’(x)(C \cdot f(x))’ = C \cdot f’(x)
(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)
(f(x)−g(x))’=f’(x)−g’(x)(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x)
(f(x)⋅g(x))’=f’(x)⋅g(x)+f(x)⋅g’(x)(f(x) \cdot g(x))’ = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x)
(f(x)g(x))’=f’(x)⋅g(x)−f(x)⋅g’(x)g(x)2,если g(x)≠0\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \dfrac{f’(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g’(x)}{g(x)^2}, \quad \text{если } g(x) \ne 0
(1g(x))’=−g’(x)g(x)2,если g(x)≠0\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)’ = -\dfrac{g’(x)}{g(x)^2}, \quad \text{если } g(x) \ne 0
(f(g(x)))’=f’g(g(x))⋅g’(x)(f(g(x)))’ = f’_g(g(x)) \cdot g’(x)


Производные элементарных функций

(xm)’=m⋅xm−1,m∈N, x∈R(x^m)’ = m \cdot x^{m - 1}, \quad m \in \mathbb{N},\ x \in \mathbb{R}
(xβ)’=β⋅xβ−1,β∈R, x>0(x^\beta)’ = \beta \cdot x^{\beta - 1}, \quad \beta \in \mathbb{R},\ x > 0
(sin⁡x)’=cos⁡x,x∈R(\sin x)’ = \cos x, \quad x \in \mathbb{R}
(cos⁡x)’=−sin⁡x,x∈R(\cos x)’ = -\sin x, \quad x \in \mathbb{R}
(tg⁡x)’=1cos⁡2x,x≠π2+πn, n∈Z(\tg x)’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}, \quad x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}
(ctg⁡x)’=−1sin⁡2x,x≠πn, n∈Z(\ctg x)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 x}, \quad x \ne \pi n,\ n \in \mathbb{Z}
(arcsin⁡x)’=11−x2,∣x∣<1(\arcsin x)’ = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1
(arccos⁡x)’=−11−x2,∣x∣<1(\arccos x)’ = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1
(arctg⁡x)’=11+x2,x∈R(\arctg x)’ = \dfrac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R}
(arcctg⁡x)’=−11+x2,x∈R(\arcctg x)’ = -\dfrac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \mathbb{R}
(ex)’=ex,x∈R(e^x)’ = e^x, \quad x \in \mathbb{R}
(bx)’=bx⋅ln⁡b,b>0, b≠1, x∈R(b^x)’ = b^x \cdot \ln b, \quad b > 0,\ b \ne 1,\ x \in \mathbb{R}
(ln⁡x)’=1x,x>0(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}, \quad x > 0
(log⁡bx)’=1x⋅ln⁡b,x>0, b>0, b≠1(\log_b x)’ = \dfrac{1}{x \cdot \ln b}, \quad x > 0,\ b > 0,\ b \ne 1
 
Top.Mail.Ru