Геометрический смысл производной

Пусть к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ можно провести касательную прямую $y = kx + b$, которая не является вертикальной (не параллельна оси $Oy$).

Тогда значение производной $f’(a)$ в точке $x = a$ будет совпадать с угловым коэффициентом касательной:

Поскольку угловой коэффициент $k$ равен $\tg \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$, то верно и следующе

Напомним: угол наклона прямой (угол $\alpha$) отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ к прямой против часовой стрелки.

На основании этого можно сформулировать следующее утверждение:

Теорема (геометрический смысл производной)

Значение производной функции в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику этой функции в точке $x_0$

Поскольку касательная прямая $y = kx + b$ проходит через точку $M(x_0; f(x_0))$, можно также воспользоваться формой уравнения прямой, проходящей через данную точку с известным угловым коэффициентом.

Тогда справедливо следующее: Теорема (уравнение касательной)

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то уравнение касательной к её графику в этой точке имеет вид: