Исследование функции с помощью производной

Теорема (об интервалах монотонности функции)

Если $f’(x) > 0$ во всех точках некоторого промежутка, то функция возрастает на нём; если $f’(x) < 0$, то функция убывает. Теорема (необходимое условие экстремума)

Если функция $f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f’(x_0) = 0$, либо производная $f’(x_0)$ не существует.

Определение

Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, называются критическими точками.

Утверждение

Все точки экстремума функции являются её критическими точками, но не каждая критическая точка — точка экстремума.

Стационарные точки — это такие внутренние точки области определения, в которых $f’(x) = 0$.

Критическими называют также внутренние точки, в которых функция непрерывна, но производная не существует.

Теорема (достаточные условия экстремума)Пусть $f(x)$ — непрерывна на промежутке $X$ и имеет внутри него стационарную или критическую точку $x = x_0$.

Тогда:

а) если $f’(x) < 0$ при $x < x_0$ и $f’(x) > 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ — точка локального минимума;

б) если $f’(x) > 0$ при $x < x_0$ и $f’(x) < 0$ при $x > x_0$, то $x_0$ — точка локального максимума;

в) если знаки $f’(x)$ слева и справа от $x_0$ одинаковы, то экстремума в этой точке нет. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, то достаточно:найти значения функции в $a$, $b$;вычислить значения $f(x)$ в критических точках на $(a; b)$;сравнить все полученные значения и выбрать наибольшее и наименьшее.

Алгоритм исследования функции $y = f(x)$ на монотонность и экстремумНайти $f’(x)$.

Найти стационарные и критические точки.

Отметить их на числовой прямой и определить знаки производной на интервалах.

Использовать теоремы, чтобы описать поведение функции.

Задача 1

Найдите точку минимума функции $y = -\dfrac{x}{x^2 + 1225}$.

Решение

Область определения: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную:

Ответ: $35$

Задача 2

Найдите наименьшее значение функции $y = 6 \cos x + 11x + 5$ на отрезке $\left[0; \dfrac{5\pi}{4}\right]$.

Решение

Найдём производную:

Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-6 \sin x + 11 \ge 5 > 0$

Следовательно, $y$ возрастает на всём отрезке, наименьшее значение достигается при $x = 0$:

Задача 3

Найдите наибольшее значение функции $y = 44x - 48 \sin x + 30$ на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2}; 0\right]$.

Решение

Найдём производную:

Так как $\cos x \le 1$, то $y’ > 0$ на всём отрезке.

Функция возрастает, наибольшее значение достигается при $x = 0$:

Ответ: $30$