Предел функции и асимптоты

Определение

Число $A$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $x_{1}$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - x_{1}| < \delta$, выполняется неравенство:

Обозначается так:

Это определение можно записать с помощью кванторов $\forall$ (всеобщности) и $\exists$ (существования):

Определение

Промежуток $(x_1 - \delta,\ x_1) \cup (x_1,\ x_1 + \delta)$, где $\delta > 0$, называется проколотой окрестностью точки $x_1$.

Это интервал вокруг $x_1$, исключая саму точку.

Геометрический смысл предела

Если $\lim\limits_{x \to x_1} f(x) = A$, то как бы мало мы ни взяли число $\varepsilon > 0$, всегда найдётся проколотая окрестность точки $x_1$, в которой значения функции $f(x)$ находятся в пределах $\varepsilon$-окрестности числа $A$.

Определение

Функция $f$ называется бесконечно малой в точке $x_1$, если

Утверждение

Функция $f(x)$ имеет предел, равный $A$ при $x \to x_1$, тогда и только тогда, когда её можно представить в виде:

где $g(x)$ — бесконечно малая в точке $x_1$.

Предельное поведение функции на бесконечности

ОпределениеЧисло $B$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \to +\infty$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое число $c > 0$, что для всех $x > c$ выполняется неравенство:

Это записывается как:

Замечание

Аналогично определяются пределы при $x \to -\infty$ и $x \to \infty$:

Определение

Прямая $y = C$ называется правой горизонтальной асимптотой графика функции $f(x)$, если

Если существует предел

то прямая $y = mx + n$ называется правой наклонной асимптотой графика функции $f(x)$. Аналогично определяются левые и двусторонние асимптоты, заменяя предел $x \to +\infty$ на $x \to -\infty$ или $x \to \infty$. 

Теорема

Прямая $y = mx + n$ является правой наклонной асимптотой графика функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы:

Аналогичные условия верны и для левой наклонной асимптоты при $x \to -\infty$, и для двусторонней при $x \to \infty$.