Приращение аргумента и функции

В этой статье рассматриваются два важных понятия: приращение аргумента и приращение функции.

Эти понятия необходимы для понимания темы производной в курсе алгебры и начала математического анализа.

Рассмотрим функцию $y = f(x)$.

Зафиксируем некоторое значение аргумента $x_0$, в котором функция определена.

Предположим, что функция $f$ определена и в некоторой окрестности этой точки.

Выберем произвольное значение $x$ из этой окрестности и найдём разность между новым и исходным значением аргумента:

Значение функции в точке $x_0$ обозначается $f(x_0)$, а в точке $x$ — $f(x)$.

Разность этих значений:

Определение

Если функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, а $x$ принадлежит этой окрестности, то разность

Поскольку $x = x_0 + \Delta x$, то значение функции в новой точке:

А итоговые формулы:

Значения $\Delta x$ и $\Delta f$ могут быть как положительными, так и отрицательными.

Приращение функции $\Delta f$ при фиксированном $x_0$ зависит от величины $\Delta x$, то есть является функцией переменной $\Delta x$.

Примеры 

Пример 1 Сторона квадрата равна 7.

Найти приращение его периметра, если сторону увеличили на 0,3.

Решение:

Периметр квадрата — функция его стороны: $P(a) = 4a$.

По условию: $a_0 = 7, \qquad \Delta a = 0,3$.Тогда:

Пример 2 Найти приращение функции $f(x) = 4x^2 + 3$ в точке $x_0 = 3$ при $\Delta x = -0,6$.

Решение: Находим новое значение аргумента:

Теперь определим приращение функции:

Ответ: $-10,8$

Пример 3

Вычислить приращение аргумента и функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$, если $x = \frac{\pi}{3}$ и $f(x) = \sin^2 x$.

Решение:

Приращение аргумента:

Приращение функции:

Подставим значения:

Тогда:

Ответ: $\frac{1}{4}$

Пример 4

Выразить приращение функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $\Delta x$.

Решение:Находим разность значений функции:

Раскроем скобки:

Сократим одинаковые слагаемые:

Ответ: $3x_0^2 \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$