MindCube Академия - Производная сложной функции

В предыдущих статьях, посвящённых определению производной и правилам дифференцирования, рассматривались функции, аргументом которых служила независимая переменная $x$ .

Сейчас речь пойдёт о производной сложной функции.

Сложная функция — это функция от функции.

Примеры: $y = \sin(3x - 2)$ $y = \ln(x^2 + 4)$

В первом случае функция синус берётся от линейного выражения $u(x) = 3x - 2$ , во втором — логарифм применяется к квадратному выражению $u(x) = x^2 + 4$ .

Определение

Если заданы функции $y = f(u)$ и $u = \varphi(x)$ , и область определения $f$ содержит значения $\varphi(x)$ , то каждому $x$ сопоставляется значение $u$ , а затем $f(u)$ .

Такая композиция функций обозначается как:

y = f(\varphi(x))

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией.

При этом $\varphi(x)$ — внутренняя функция, $f(u)$ — внешняя функция.

Теорема (правило дифференцирования сложной функции)

Если $u = \varphi(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ , а $f(u)$ дифференцируема в точке $u_0 = \varphi(x_0)$ , то сложная функция $y = f(\varphi(x))$ дифференцируема в точке $x_0$ , и:

y’_x(x_0) = y’_u(u_0) \cdot u’_x(x_0)

Для краткости это правило записывают так:

y’_x = y’_u \cdot u’_x

\blacktriangleright

Пример 1

Пусть заданы функции: $f(x) = 4x - 6$ , $u(x) = \sqrt{x}$ , $v(x) = x^2 + 3$

Найти формулу сложной функции $g(x)$ :а) $g(x) = f(u(x))$ б) $g(x) = f(u(v(x)))$

Решение:

а) Подставим $u(x)$ в $f$ : $f(u(x)) = 4u(x) - 6 = 4\sqrt{x} - 6$ Итак:

g(x) = 4\sqrt{x} - 6

б) Подставим $v(x)$ в $u$ : $u(v(x)) = \sqrt{v(x)} = \sqrt{x^2 + 3}$

Теперь в $f(x)$ подставим $u(v(x))$ вместо $x$ : $f(u(v(x))) = 4\sqrt{x^2 + 3} - 6$

Значит:

g(x) = 4\sqrt{x^2 + 3} - 6

Ответ:

а) $g(x) = 4\sqrt{x} - 6$

б) $g(x) = 4\sqrt{x^2 + 3} - 6$ $\blacktriangleright$

Пример 2

Найти производную функции $y = f(x)$ :а) $f(x) = \sqrt{x^4}$ б) $f(x) = \dfrac{1}{3x + 7}$

Решение:

а) $f(x) = \sqrt{x^4}$ — это сложная функция: корень от степенной функции.

Пусть $u(x) = x^4$ , $y(u) = \sqrt{u}$ Тогда:

y’_u = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}, \quad u’_x = 4x^3

Производная:

f’(x) = y’_u \cdot u’_x = \dfrac{1}{2\sqrt{x^4}} \cdot 4x^3 = \dfrac{4x^3}{2x^2} = 2x

б) $f(x) = \dfrac{1}{3x + 7}$ — сложная функция: обратная пропорциональность от линейной.

Пусть $u(x) = 3x + 7$ , $y(u) = \dfrac{1}{u}$ Тогда:

y’_u = -\dfrac{1}{u^2}, \quad u’_x = 3

Производная:

f’(x) = y’_u \cdot u’_x = -\dfrac{1}{(3x + 7)^2} \cdot 3 = -\dfrac{3}{(3x + 7)^2}

Ответ:а) $f’(x) = 2x$ б) $f’(x) = -\dfrac{3}{(3x + 7)^2}$