Исследование функции с помощью производной

Знания о том, как ведёт себя функция в зависимости от поведения её производной, позволяют эффективно строить график функции.

Рекомендуем сначала ознакомиться со статьёй Исследование функции с помощью производной, так как она содержит теоретические сведения, которые мы будем использовать в данной статье.

Исследование функции будем проводить по следующему плану:Находим область определения функции.

Проверяем функцию на чётность/нечётность.

Выясняем периодичность.Находим пересечения с осями координат, определяем интервалы знакопостоянства.

Определяем интервалы возрастания и убывания.

Находим точки экстремума.

Исследуем выпуклость и определяем точки перегиба.

После анализа соберём все данные в таблицу, отражающую поведение производной, второй производной и самой функции на интервалах.

По таблице удобно построить график.

Рассмотрим пример.

Исследуем и построим график функции:$y = f(x) = \dfrac{1}{64}(x^2 - 4)^3$

1. Область определения:Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$. 2

. Чётность функции:Проверим:$f(-x) = \dfrac{1}{64}((-x)^2 - 4)^3 = \dfrac{1}{64}(x^2 - 4)^3 = f(x)$ Функция чётная.

3. Периодичность:Функция не является периодической.

4. Пересечения с осями и знакопостоянство:

Решим $f(x) = 0$:$\dfrac{1}{64}(x^2 - 4)^3 = 0 \Rightarrow x = -2, 2$

На интервалах:$x < -2$ и $x > 2$: $f(x) > 0$$-2 < x < 2$: $f(x) < 0$

Значение в начале координат:$f(0) = \dfrac{1}{64}(-4)^3 = -\dfrac{64}{64} = -1$

5. Интервалы монотонности, экстремумы:

Найдём производную:$f’(x) = \dfrac{3}{64}(x^2 - 4)^2 \cdot 2x = \dfrac{6x}{64}(x^2 - 4)^2$$f’(x) = 0$ при $x = -2,\ 0,\ 2$

Знаки производной:$f’(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$$f’(x) > 0$ при $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$

Значит:Функция убывает на $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$Возрастает на $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$$x = 0$ — точка локального минимума: $f(0) = -1$

6. Интервалы выпуклости, точки перегиба:

Найдём вторую производную:$f’’(x) = \left(\dfrac{6x}{64}(x^2 - 4)^2\right)’$

Применим правило произведения:$f’’(x) = \dfrac{6}{64}(x^2 - 4)^2 + \dfrac{6x}{64} \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x$$f’’(x) = \dfrac{6}{64}(x^2 - 4)\left[(x^2 - 4) + 4x^2\right] = \dfrac{6}{64}(x^2 - 4)(5x^2 - 4)$

Нули второй производной:$x = -2,\ -\sqrt{\dfrac{4}{5}},\ \sqrt{\dfrac{4}{5}},\ 2$

Знаки:$f’’(x) > 0$ на $(-\infty, -2) \cup (-\sqrt{\frac{4}{5}}, \sqrt{\frac{4}{5}}) \cup (2, +\infty)$$f’’(x) < 0$ на $(-2, -\sqrt{\frac{4}{5}}) \cup (\sqrt{\frac{4}{5}}, 2)$

Следовательно:

Функция выпукла вниз на $(-\infty, -2)$; $(-\sqrt{\frac{4}{5}}, \sqrt{\frac{4}{5}})$; $(2, +\infty)$

Выпукла вверх на $(-2, -\sqrt{\frac{4}{5}})$ и $(\sqrt{\frac{4}{5}}, 2)$

Точки перегиба: $x = -2,\ -\sqrt{\dfrac{4}{5}},\ \sqrt{\dfrac{4}{5}},\ 2$$f(-2) = 0$, $f(\pm \sqrt{\dfrac{4}{5}}) = -\dfrac{216}{64}$, $f(2) = 0$