Непрерывные функции

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0} \: (x_{0} \in D(f))$, если предел функции в этой точке совпадает со значением функции в этой же точке.

Иными словами,

$\forall \varepsilon > 0 \: \exists \delta > 0 \: : \: \forall x: \: \: |x - x_{1}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{1})| < \varepsilon.$

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на множестве $M$, где $M \subset D(f)$, если функция непрерывна в каждой точке этого множества, то есть для всякого $x_{0} \in M$ справедливо $\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0})$.

Для функции, непрерывной в точке, справедливы все теоремы о пределе функции в точке.

Элементарные функции — это многочлены, степенные, дробно-рациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические, а также все функции, получаемые из них с помощью композиций и четырёх арифметических операций.

Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке из области определения.

Число $b$ называется правосторонним пределом функции f(x) при x \to x_{1} + 0, если для любого \varepsilon > 0 существует такое \delta > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < x - x_{1} < \delta, выполняется:|f(x) - b| < \varepsilon.

Иными словами,

Обозначается $\lim\limits_{x \to x_{1}^{+}} f(x) = b.$

Число $b$ называется левосторонним пределом функции $f(x)$ при $x \to x_{0} - 0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех значений аргумента $x$, удовлетворяющих условию $0 < x_{0} - x < \delta$, следует, что $|f(x) - a| < \varepsilon$.

Иными словами,

Обозначается $\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}} f(x) = a.$

Функция $y = f(x)$ при $x \to x_{0}$ имеет пределом число $a$ тогда и только тогда, когда существуют левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x = x_{0}$ и они равны числу $a$.

Функция $y = f(x)$ является непрерывной в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда существуют левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x = x_{0}$ и они равны значению функции в точке $x_{0}$.

Прямая $x = x_{0}$ называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов $\lim\limits_{x \to x_{0}^{+}} f(x)$, $\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}} f(x)$, $\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)$ равен $+\infty$ или $-\infty$.

Точками разрыва функции называются такие точки, в которых не выполняются условия непрерывности, но при этом функция в этих точках определена.

1. Устранимый разрыв
   Точка $x_{0}$ называется точкой устранимого разрыва функции $y = f(x)$, если существует $\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)$, но в точке $x_{0}$ функция $f(x)$, либо не определена, либо $\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) \neq f(x_{0}).$
2. Разрыв I рода
   Точка $x_{0}$ называется точкой разрыва I рода функции $y = f(x)$, если $\lim\limits_{x \to x_{0}^{+}} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_{0}^{-}} f(x)$, но оба предела существуют и конечны. Причём в самой точке функция может быть как определена, так и не определена.
   
3. Разрыв II рода
   Точка $x_{0}$ называется точкой разрыва II рода функции $y = f(x)$, если в точке $x_{0}$ функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.