Физический смысл производной

Рассмотрим классическую задачу на определение скорости движения.

Условие.

Пусть вдоль прямой движется тело.

На этой прямой заданы начало отсчёта, направление и единица измерения (метр).

Закон движения задан формулой $s = s(t)$, где $t$ — время в секундах, а $s(t)$ — положение тела на прямой в момент времени $t$ (то есть координата движущейся точки относительно начала отсчёта).

Требуется найти скорость тела в момент времени $t$ (в м/с).

Решение.

Пусть в момент времени $t$ тело находилось в точке $M$, и его координата была$s(t)$.

Теперь рассмотрим его координату через небольшой промежуток времени — в момент $t + \Delta t$.

Тогда новая координата тела — это$s(t + \Delta t)$.

Таким образом, за $\Delta t$ секунд тело переместилось из точки $M$ в точку $P$, и его перемещение равно$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$.

Следовательно, средняя скорость за время $\Delta t$ будет равна:$v_{\text{ср}} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$.

Мгновенной скоростью называют скорость тела в конкретный момент времени $t$, то есть предел средней скорости, когда $\Delta t$ стремится к нулю:$v(t) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$. Или, что то же самое, производная координаты по времени:$v(t) = s’(t)$.

Итог: скорость тела в момент времени $t$ — это значение производной от функции координаты $s(t)$.

Теорема (физический смысл производной)Если тело движется прямолинейно по закону $s = s(t)$, то его мгновенная скорость в момент времени $t$ равна производной этой функции:$v(t) = s’(t)$.

Обобщение.

Во многих науках, если некоторая величина $S$ изменяется со временем по закону $S = S(t)$, то производная $S’(t)$ представляет собой скорость изменения этой величины в момент времени $t$.