Правила дифференцирования функций

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для вычисления производных используют правила дифференцирования, о которых пойдёт речь в этой статье.

Теорема 1

Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x_2$, то их сумма и разность также дифференцируемы в этой точке, причём:

Доказательство

Приращение функции $u + v$ в точке $x_2$ при увеличении аргумента на $\Delta x$:

Поскольку функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x_2$, то пределы:

Следовательно:

Теорема 2

Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x_2$, то их произведение также дифференцируемо в этой точке, и:

Доказательство

Приращение произведения:

Поскольку $u$ и $v$ дифференцируемы в $x_2$, а значит и непрерывны, получаем:

Следствие

Если $c$ — постоянное число, а $u$ — дифференцируемая функция в точке $x_2$, то:

Теорема 3Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x_2$ и $v(x_2) \ne 0$, то:

Правила дифференцирования:

Пример 1.

Найдите производные:а) $f(x) = x + \dfrac{3}{x}$;б) $f(x) = x^4 - 2x^3 + x + 4$.

Решениеа)

Ответ:а) $\dfrac{x^2 - 3}{x^2}$;б) $4x^3 - 6x^2 + 1$ $\blacktriangleright$

Пример 2.

Найдите производную функции:$f(x) = (x^2 - 4x + 6)(x^2 + 2x + 1)$

Решение

Раскроем скобки:

Пример 3.

Найдите значение производной функции $f(x) = \dfrac{x^3}{x + 1}$ в точке $x = 1$

Решение

Подставим $x = 1$:

Ответ: $\dfrac{5}{4}$