Свойства пределов функций

Нахождение пределов функций с помощью определения зачастую оказывается довольно трудоёмким.

Однако использование свойств пределов позволяет существенно упростить вычисления. Ниже приведены основные свойства пределов без доказательств.

Свойства пределов функций

Пусть функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ имеют конечные пределы в точке $x_0$.

Тогда справедливы следующие свойства:

Предел постоянной функции:

Предел суммы и разности:

Предел произведения:

Предел частного (если знаменатель не обращается в ноль):

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Теорема (о трёх функциях) Пусть $f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x)$ для всех $x$ из некоторой проколотой окрестности точки $x_0$, и пусть:

Тогда:

Замечание:

Все указанные свойства и теоремы справедливы и при $x \to \infty$. $\blacktriangleright$
Пример 1. Вычислить:$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2x - 1}{3x + 5}$

Решение

Подставим $x = 4$:

Подставим $x = 3$:

Заметим, что при $x \to 2$:

Числитель: $x^3 - 8 \to 0$

Знаменатель: $4x - 8 \to 0$

Получаем неопределённость $\dfrac{0}{0}$.

Разложим числитель: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Тогда:

Ответ: 1) $\dfrac{7}{17}$; 2) $7\dfrac{67}{145}$; 3) $3$. $\blacktriangleright$

Пример 2.

Вычислить:

Решение

При $x \to 2$ имеем:

Числитель: $|5 - 3x| - |x| \to 0$

Знаменатель: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \to 0$

Опять получаем неопределённость $\dfrac{0}{0}$.

Для $x$ близких к $2$, выражение $5 - 3x > 0$, а $x > 0$, значит:

Подставим:

Подставим $x = 2$:

Формально предел не существует, но если раскрыть знак в зависимости от $x \to 2^-$ или $x \to 2^+$, можно установить знак бесконечности.

Но здесь задача сводится к определению одностороннего предела.

Допустим, $x < 2$, тогда $x - 2 < 0$, и $(x - 2)^2 > 0$.

Тогда числитель $5 - 4x \to -3$, а знаменатель $\to 0^+ \Rightarrow$ предел стремится к $-\infty$.

Ответ: $-\infty$.