Первообразная

Определение

Первообразной функции $f$ на промежутке $I$ называется такая функция $F$, для которой для всех $x \in I$ выполняется равенство:$F’(x) = f(x)$.

Если $F$ — первообразная для $f$ на промежутке $I$, то функция $F + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет первообразной для $f$ на этом же промежутке.

Действительно: $(F(x) + C)’ = F’(x) = f(x)$.

Справедливо и обратное: если функции $F$ и $\Phi$ обе являются первообразными для одной и той же функции $f$ на промежутке $I$, то:$\Phi(x) = F(x) + C$, где $C$ — некоторое постоянное число. 

Правила нахождения первообразныхПусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные функций $f(x)$ и $g(x)$ на некотором промежутке. Тогда:$F(x) + G(x)$ — первообразная функции $f(x) + g(x)$;$k F(x)$ — первообразная функции $k f(x)$, где $k$ — константа;$\dfrac{1}{k} F(kx + m)$ — первообразная функции $f(kx + m)$, где $k \ne 0$, $m$ — число. 

Таблица первообразных

Функция $f(x)$