Площадь криволинейной трапеции и интегральная сумма

Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке, и вычислим её площадь $S$.

Фигура ограничена снизу отрезком $[a; b]$ оси $Ox$, сверху — графиком непрерывной функции $y = f(x)$, такой что $f(x) > 0$ при $x \in (a; b)$, а по бокам — отрезками прямых $x = a$ и $x = b$.

Такую фигуру называют криволинейной трапецией, а отрезок $[a; b]$ — её основанием.

Пусть $S(x)$ — площадь криволинейной трапеции с основанием $[a; x]$, где $x$ — любая точка из отрезка $[a; b]$.

Заметим, что:если $x = a$, то отрезок $[a; x]$ вырождается в точку, следовательно, $S(a) = 0$;если $x = b$, то $S(b) = S$.

Можно доказать, что выполняется следующее соотношение:

то есть $S(x)$ является первообразной функции $f(x)$.

Теперь разобьём основание $[a; b]$ на $n$ отрезков точками $x_0, x_1, \dots, x_n$ (необязательно равных по длине).

Проведём через эти точки вертикальные прямые и обозначим длины отрезков:

Площадь прямоугольника с основанием $\Delta x_p$ и высотой $f(c_p)$ равна $f(c_p) \Delta x_p$.

Тогда сумма площадей всех таких прямоугольников будет приближённым значением площади криволинейной трапеции:

Чем меньше максимальное из значений ${\Delta x_1, \Delta x_2, \dots, \Delta x_n}$, тем точнее приближённое значение площади.

Этого можно достичь, увеличивая количество точек $x_0, x_1, \dots, x_n$, отстоящих друг от друга на малые расстояния.

Определение.

Величину $S_n$ называют интегральной суммой функции $f(x)$, соответствующей разбиению ${x_0, x_1, \dots, x_n}$ отрезка $[a; b]$ и выбору точек ${c_1, c_2, \dots, c_n}$ на каждом подотрезке.

Можно доказать, что истинная площадь криволинейной трапеции равна пределу этой суммы при стремлении максимального из отрезков к нулю:

где $D = \max {\Delta x_1, \Delta x_2, \dots, \Delta x_n}$.