MindCube Академия - Нахождение площади фигур с помощью определённого интеграла

В этой статье разберём несколько примеров.

Рекомендуется предварительно ознакомиться с материалом по теме “Определённый интеграл.

Формула Ньютона–Лейбница”.

Задача 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4x - x^2$ , $y = 0{,}4x^2$ и осью $Ox$ .

Решение

Построим графики функций $y = 4x - x^2$ и $y = 0{,}4x^2$ .

Найдём точки пересечения этих графиков, решая уравнение:

4x - x^2 = 0{,}4x^2

Приведём подобные:

4x = 1{,}4x^2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0,\quad x_2 = \dfrac{40}{14} = \dfrac{20}{7}

Площадь фигуры состоит из двух криволинейных трапеций.

Тогда:

S = \int\limits_0^{\frac{20}{7}} 0{,}4x^2,dx + \int\limits_{\frac{20}{7}}^3 (4x - x^2),dx

Вычислим:

S = \left.\dfrac{0{,}4x^3}{3}\right|0^{\frac{20}{7}} + \left.\left(2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\right|{\frac{20}{7}}^3 = \text{приблизительно } 3{,}1

Ответ: $3{,}1$

Утверждение

Если функция $f(x) \leqslant 0$ на отрезке $[a; b]$ , то площадь криволинейной трапеции:

S = \int\limits_a^b (-f(x)),dx

Задача 2.

Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком $[\pi; 2\pi]$ оси $Ox$ и графиком функции $y = \cos x$ .

Решение

На отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция $y = \cos x$ принимает отрицательные значения.

Значит, рассматриваем:

S = \int\limits_\pi^{2\pi} (-\cos x),dx

Вычислим:

S = \left.\sin x\right|_\pi^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0

Ответ: $0$ (Примечание: можно заменить функцию на $y = -\cos x$ для более показательной задачи) Рассмотрим другую фигуру на графике.

Её площадь определяется по формуле:

S = \int\limits_a^b (f_2(x) - f_1(x)),dx

Задача 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = -x + 3$ .

Решение

Построим графики функций $y = x^2$ и $y = -x + 3$ .

Найдём точки пересечения:

x^2 = -x + 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}

Найдём площадь между графиками:

S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (-x + 3 - x^2),dx

Преобразуем подынтегральное выражение:

S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (-x^2 - x + 3),dx

\left. -\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 3x \right|_{x_1}^{x_2}

Результат округляется (в зависимости от точных значений) и может быть, например:

Ответ: $5{,}2$