MindCube Академия - Законы умножения рациональных чисел и раскрытие скобок

Для рациональных чисел верны те же законы умножения, что и для целых чисел.

Законы умножения

Переместительный закон умножения

$a\cdot b=b\cdot a$

Сочетательный закон умножения

$a\left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)c$

Распределительный закон умножения относительно сложения

$a\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

Свойства умножения на 1 и 0

$a\cdot 1=1\cdot a = a$

$a\cdot 0=0\cdot a = 0$

Эти законы помогают упрощать выражения и выполнять вычисления быстрее.

$\blacktriangleright$ Пример 1. Упростим выражение $0{,}5m \cdot (-\frac{2}{5}) \cdot 4n$ .

Решение: Сначала переместим множители, создав удобный для нас порядок, затем применим сочетательный закон.
$0{,}5m \cdot (-\frac{2}{5}) \cdot 4n = (0{,}5 \cdot -\frac{2}{5}) \cdot 4 \cdot m \cdot n = -0{,}2 \cdot 4mn = -0{,}8mn.$

В выражении $-0{,}8$ — коэффициент, а знаки умножения между переменными часто опускаются.

$\blacktriangleright$ Пример 2. Определите коэффициент в выражении $-y$ .

Решение: Так как $-y = -1 \cdot y$ , коэффициент — $-1$ .

На основании данного примера можно сформулировать следующее правило.

Свойства умножения на -1

$a\cdot (-1)=(-1)\cdot a = -a$

При умножении на $-1$ получаем число, противоположное данному.

$\blacktriangleright$ Пример 3. Раскройте скобки $3(5x - 7y + 2z)$ .
Решение: Воспользуемся распределительным законом.
$3(5x + (-7y) + 2z) = 3 \cdot 5x + 3 \cdot (-7y) + 3 \cdot 2z = 15x - 21y + 6z.$

$\blacktriangleright$ Пример 4. Раскройте скобки и упростите выражение $3(a + 2) - (b - 7)$ .
Решение:

$3(a + 2) + (-1)(b - 7) = 3a + 6 - b + 7.$

Приведём подобные:

$3a - b + 13.$

На основании данного примера можно сформулировать следующее правило.

Минус перед скобками

$-(a+b-c) = -a -b+c$

Если перед скобками стоит знак «-»‎, то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные.

Применение распределительного закона в "обратном направлении" называют вынесением общего множителя за скобки.