Периодические дроби: определение, примеры и длина периода

Напомним, что рациональным называется число вида $\dfrac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Любое рациональное число можно записать как в виде обыкновенной дроби, так и в виде десятичной дроби. Иногда десятичная дробь оказывается бесконечной.

Конечная десятичная дробь содержит после запятой конечное число знаков, например, число $7{,}25614$ содержит пять знаков после запятой.

У бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число знаков. Если цифры, стоящие после запятой в бесконечной десятичной дроби, образуют повторяющиеся группы (возможно, не сразу), то такая дробь называется периодической.

$\blacktriangleright$ Пример. Дробь $4{,}561561561561\ldots$ является периодической.

Поскольку выписать всё бесконечное количество знаков после запятой невозможно, пишут так: $4{,}(561)$, то есть группу из повторяющихся цифр заключают в скобки.

Для дроби $4{,}(561)$ длина периода равна $3$. Эту же дробь можно записать и так: $4{,}(561561)$ или $4{,}(561561561)$. Однако принято использовать наименьший период — самый короткий набор цифр, из которых можно составить всю последовательность. Длина наименьшего периода десятичной дроби обозначается $T$. У дроби $4{,}(561)$ число $T$ равно $3$.

Иногда повторение начинается не сразу после запятой, а через несколько цифр. Например: $2{,}845999999\ldots$. В таком случае говорят, что у дроби есть предпериод. Бесконечную десятичную дробь с предпериодом можно записать так: $2{,}84(5)$. Длина предпериода равна $2$, а длина наименьшего периода равна $1$.