MindCube Академия - Сложение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел на координатной прямой

Пусть мы находимся в точке с координатой $-1$ . Где мы окажемся, если переместимся на три единичных отрезка вправо?

Координатная прямая помогает нам найти сумму чисел $-1$ и $2$ , то есть $-1 + 2 = 1.$

Рассмотрим ещё пример на координатной прямой.

Можно сделать следующий вывод.

Если к некоторому числу $k$ прибавить положительное число $p$ , то соответствующая точка $k$ переместится по координатной прямой на $p$ единичных отрезков вправо.

Рассмотрим ещё один рисунок. Точка $K(-1)$ перемещается по координатной прямой на четыре единичных отрезкf влево в точку $Z(-5)$ , тем самым получаем, что $-1 + (-4) = -5.$

Если к некоторому числу $k$ прибавить отрицательное число $p$ , то соответствующая точка $k$ переместится по координатной прямой на $(-p)$ единичных отрезков влево.

Так можно складывать рациональные числа с помощью координатной прямой.

Сложение рациональных чисел с помощью модуля

Сложение чисел c одинаковыми знаками

1) Сумма положительных чисел — число положительное.

2) Сумма отрицательных чисел — число отрицательное.

3) Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых.

4) Если $a>0, b>0$ , тогда:

$a + b = a+b.$

$-a + (-b) = -(a + b).$

Пример 1. Найти значение выражения: $12 + 25 + 9$ .

Модули: $|12| + |25| + |9| = 12 + 25 + 9 = 46$

Ответ — положительное число:

12 + 25 + 9 = 46.

Пример 2. Найти значение выражения: $-12 - 25 - 9$ .

Это то же самое, что: $-12 + (-25) + (-9)$

Модули: $12 + 25 + 9 = 46$

Ответ — отрицательное число:

-12 - 25 - 9 = -46.

Сложение чисел с разными знаками

1) Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем.

2) Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший.

3) Если $a>0, b>0, a>b$ , тогда:

$-a + b = -(a - b).$

$a + (-b) = -(b-a)$

Пример 3. Найти значение выражения: $-39 + 14$ .

Модули: $|{-39}| - |14| = 39 - 14 = 25$

Знак — отрицательный (у большего модуля):

-39 + 14 = -25.

Свойства сложения рациональных чисел

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Например, $-5 + 5 = 0,\quad 5 + (-5) = 0$ .

$a+0=0+a=a$

Переместительный закон сложения

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

$a + b = b + a.$

Например, $7 + 1{,}4 = 1{,}4 + 7.$

Сочетательный закон сложения

$(a + b) + с = a + (b + c).$

Например, $(5 + 1{,}6) + \frac{2}{3} = 5 + (1{,}6 + \frac{2}{3}).$