MindCube Академия - Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

Рассмотрим на примере, как бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

$\blacktriangleright$ Пример $1$ . Представим периодическую дробь $0{,}(52)$ в виде обыкновенной.

Решение. Обозначим данную дробь за $x$ , то есть

$x = 0{,}(52).$

Теперь домножим это уравнение на такую степень десяти, показатель которой равен количеству цифр в периоде. В данном случае количество цифр в периоде равно двум, поэтому домножим на $10^2,$ получим:

$100x = 31{,}(52) .$

Вычтем первое уравнение из второго ( правую часть из правой, а левую часть из левой), получим:

$100x-x= 52{,}(52)-0{,}(52),$

отсюда

$99x = 52.$

Из получившегося уравнения выразим $x:$

$x = \dfrac{52}{99}.$

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь $0{,}(52)$ можно представить в виде обыкновенной $\dfrac{52}{99}.$

В случае наличия у десятичной дроби предпериода сначала придется от него избавиться.

$\blacktriangleright$ Пример $2$ . Представим периодическую дробь $3{,}41(867)$ в виде обыкновенной.

Решение. Обозначим данную дробь за $x$ , то есть

x = 3{,}41(867) .$

Сначала домножим на степень десяти так, чтобы период начинался сразу после запятой, то есть в данном случае домножим на $10^2$ :

100x = 341{,}(867) .$

Теперь домножим это уравнение ещё на $10^3$ , так как в периоде три цифры:

$100\,000x = 341867{,}(867).$

Вычтем из полученного уравнения то, что было на предыдущем шаге:

$100\,000x - 100x = 341867{,}(867) - 341{,}(867),$

отсюда

99\,900x = 341526 .$

Отсюда выразим $x:$

$x = \frac{341526}{99\,900} = \frac{18\,974}{5\,550}.$

Таким образом, дробь $3{,}41(867)$ можно записать в виде обыкновенной $\dfrac{18,974}{5,550}$ .

Алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную дробь

$1)$ Записать уравнение: $x$ равно заданной дроби.

$2)$ Если у дроби есть предпериод — домножить на $10^n$ , чтобы период начинался сразу после запятой.

$3)$ Домножить получившееся уравнение на такую степень десяти, показатель которой равен количеству цифр в периоде.

$4)$ Вычесть из нового уравнения предыдущее (или начальное, если нет предпериода), выразить $x$ как дробь.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ

Если таким образом попробовать перевести дробь $0{,}(9)$ в обыкновенную, то получится ровно $1$ (проверьте самостоятельно!).Это действительно так: $0{,}(9) = 1$ . Это связано с тем, как устроена десятичная система записи.Так и числа $0{,}456(9)$ и $0{,}457$ — это одно и то же.Каждую конечную десятичную дробь можно записать двумя способами, но принято выбирать конечную запись.

Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую дробь:

1) $2{,}(7)$ ;

2) $4{,}53(821)$ .

УЗНАТЬ ОТВЕТ

1) Пусть $x = 2{,}(7)$ , тогда

$10x = 27{,}(7);$

$10x-x= 25;$

$9x = 25;$

$x = \dfrac{25}{9} .$

2) Пусть $x = 4{,}53(821)$ , тогда

$100x = 453{,}(821),\quad$ ;

$100\,000x = 453821{,}(821),$ ;

$100\,000x - 100x = 453821{,}(821) - 453{,}(821);$

99\,900x = 453368 \Rightarrow x = \frac{453368}{99\,900}.

Ответ. а) $\dfrac{25}{9}$ ;

б) $\dfrac{453368}{99,900}$ .