Метод интервалов: решение неравенств с примерами

$\blacktriangleright$Пример $1.$

Решите неравенство $3x^2+5x-7>0$.

РЕШЕНИЕ

Разложим левую часть неравенства на множители:

В левой части неравенства находится произведение двух сомножителей, и это произведение должно быть положительным. Произведение двух сомножителей может быть положительным в двух случаях: когда либо оба сомножителя положительны, либо, наоборот, оба отрицательны.

Можно просто разобрать эти два случая по отдельности.

Можно посмотреть на происходящее с другой стороны и попробовать изобразить ситуацию на числовой оси.

$\blacktriangleright$Пример $2.$

Решите неравенство $\dfrac{x+3}{x-2}>0$.

В отличие от предыдущего примера здесь в левой части стоит алгебраическая дробь, однако ни картинка для решения, ни даже ответ не изменятся, потому что при умножении и делении знаки результата ведут себя абсолютно одинаково: при делении (умножении) чисел с одинаковыми знаками результат положителен, а при делении (умножении) чисел с разными знаками результат отрицателен. Единственное отличие картинки-решения будет в замене знака умножения на дробную черту.

Однако в приведённых примерах у нас перемножены (разделены друг на друга) всего два выражения, изображены две оси и одна результирующая. А что, если бы сомножителей было пять или больше? Попробуем решить такое неравенство с помощью отдельных осей и подумать над универсальным способом.

$\blacktriangleright$Пример $3.$

Решите неравенство $\dfrac{(x+1)(x-2)(x-4)}{(x-5)(x-6)}<0$.

Для каждого множителя и в числителе, и в знаменателе нарисуем отдельную ось, а затем нарисуем результирующую:

Рисунок стал громоздким и отнял много времени. Задумаемся, нет ли какой-то идеи, которая помогла бы нам рисовать сразу результирующую ось, без отдельных осей для каждого множителя.

Мы видим, что на результирующей оси цвета (то есть знаки результата, итогового выражения) чередуются. Уверены ли мы, что так будет происходить всегда? Чтобы быть в этом уверенными, следует разобраться, почему знаки чередуются. Все дело в том, что при переходе с одного интервала на соседний мы меняем знак ровно одного множителя. Получается, что ровно один множитель меняет свой знак, а значит, общее выражение меняет свой знак. Например, сравним интервалы $(4;5)$ и $(5;6)$: на левом интервале три «плюса» и два «минуса» (поэтому в результате «плюс»), а на правом — четыре «плюса» и всего один «минус» (потому и в результате получается «минус»). Мы поняли, что знаки чередуются. На этом всё? На самом деле, нет. Рассмотрим следующий пример.

$\blacktriangleright$Пример $4.$

Решите неравенство $\dfrac{(x-2)^2(x-3)}{(x-4)}<0$.

На первый взгляд, мы имеем три множителя, значит, на результирующей оси будет отмечено три числа: $2$, $3$ и $4$ (поскольку именно от этих чисел зависят знаки выражений $x-2$, $x-3$ и $x-4$). Но ведь множитель $x-2$ участвует в выражении, будучи возведенным в квадрат. Мы знаем, что квадрат любого выражения обязательно неотрицателен. Должен ли поменяться знак при переходе?

Разобраться в этом становится не сложно, если вспомнить, что $(x-2)^2=(x-2)\cdot(x-2)$. То есть, на самом деле, в выражении «спрятались» два одинаковых множителя. Если для каждого из них нарисовать отдельную ось, то точки, от которых зависит знак выражения, совпадут:

Как видно на картинке, на соседних интервалах, находящихся слева и справа от числа $2$, знаки одинаковы (на обоих — «плюс»). Это произошло потому, что в двойке поменялись знаки сразу на двух осях. Нетрудно догадаться, что то же произошло бы, если бы у нас было четыре, шесть, восемь или любое другое чётное количество одинаковых осей. 

Итак, уже можно сформулировать два универсальных правила:

Осталось разобраться с самими точками: когда их следует включать в ответ, а когда — не следует? 

$\blacktriangleright$Пример $5.$

Решите неравенство $\dfrac{(x-3)^4(x-6)^3}{(x+1)(x-5)^7}\leqslant0$.

Нарисуем результирующую ось, отметим на ней числа $(-1)$, $3$, $5$ и $6$. Заметим, что 

$1)$ скобка $(x-3)$ стоит в чётной степени, значит, при переходе через число $3$ знак результата меняться НЕ будет. Все остальные скобки стоят в нечётных степенях, поэтому при переходе через все остальные точки знак меняется;

$2)$ числа $(-1)$ и $5$ являются корнями знаменателя (то есть при $x=-1$ и $x=5$ знаменатель обращается в нуль). Поэтому числа $(-1)$ и $5$ не будут решениями неравенства и их следует отметить на нашей оси пустыми кружочками;

$3)$ числа $3$ и $6$ являются решениями неравенства: если $x=3$ или $x=6$, то значение выражения равно нулю, что обращает неравенство в верное, поскольку оно нестрогое. Эти числа следует отметить на нашей оси закрашенными точками.

Мы выяснили, когда знаки меняются, а когда — нет, а также поняли, какие из отмеченных точек войдут в ответ, а какие — нет. Однако как именно расставлять знаки на оси? С какого интервала начать? Для этого возьмем любое число из крайнего правого интервала, подставим его в выражение и выясним знак результата.

Если представить, что икс — это какое-то очень большое положительное число, находящееся где-то очень далеко справа на числовой оси, то все значения в скобках будут положительны, а значит, и значение всего выражения из нашего примера $5$ будет положительным.

Итак, интервал $(6;+\infty)$ изобразим соответствующим цветом. Все остальные знаки результата будут чередоваться. В итоге картинка результирующей оси получится следующей:

Число $3$ отмечено на оси галочкой для отображения того, что знак при переходе через него меняться не должен. Иногда для такого отображения используют римскую цифру II, которая должна напоминать о чётности количества множителей, меняющих знак при переходе через такую точку.

Ответ:
$(-\infty;-1)\cup{3}\cup(5;6]$.

Обратим внимание на число $3$ в фигурных скобках в ответе. Во-первых, важно его не забыть: и справа, и слева от него находятся неподходящие интервалы, однако само число $3$ неравенству удовлетворяет. Такая точка, удовлетворяющая неравенству, но не являющаяся концом какого-либо входящего в множество решений интервала, называется изолированной. Изолированные точки в ответе указываются в фигурных скобках. Если изолированных точек несколько, то можно указать их в ответе по отдельности в соответствии с возрастанием или же можно записать все изолированные точки в одной паре фигурных скобок через точку с запятой.