Линейные неравенства с одним неизвестным: решение, примеры и правила

Определение

Линейным неравенством с одним неизвестным $x$ называется неравенство, которое может быть записано в одном из четырёх видов:



При записи неравенств используются знаки строгих неравенств:

и знаки нестрогих неравенств:


Таким образом, нестрогие неравенства, в отличие от строгих, допускают возможность равенства выражений в левой и правой частях.

Определение

Решить неравенство — значит найти множество всех чисел, которые ему удовлетворяют.
Если в линейном неравенстве $k = 0$, то оно превращается в числовое неравенство, которое либо верно, либо нет.

В первом случае решением будет вся числовая прямая; во втором — пустое множество.
Если же $k \ne 0$, то множеством решений будет промежуток вида:



Если точка $a$ входит в решение, используется квадратная скобка $[$ или $]$; если не входит — круглая $($ или $)$.
Например, неравенству $4x + 2 \geqslant 0$ удовлетворяют те и только те значения $x$, для которых верно $x \geqslant -0{,}5$.

Следовательно, множеством решений является луч:



Решить линейное неравенство так же просто, как и решить линейное уравнение: нужно перенести все слагаемые с $x$ в одну сторону, числа — в другую, привести подобные и разделить на коэффициент при $x$.

$\blacktriangleright$ Пример.

Решим неравенство:

Решение.
Переносим слагаемые:
Приводим подобные:
Делим на $-3$, меняя знак неравенства:

Ответ: множество решений — промежуток:

Найдите множество решений:
$6x - 5 > 7 - 3x$;

$\dfrac{x + 1}{4} + \dfrac{3x - 2}{8} < \dfrac{4x - 5}{8}$.
Решение:
Решим неравенство:
Переносим:
Приводим подобные:
Делим на $9$:
Сокращаем дробь:


Ответ: $x \in \left( \dfrac{4}{3}; +\infty \right)$.

Решим неравенство:
Умножим на $8$:
Раскрываем скобки:
Приводим подобные:

Ответ: $x \in (-\infty; -7)$.