MindCube Академия - Неравенства с модулем: примеры, случаи и способы решения

Модуль числа можно интерпретировать как расстояние на числовой прямой от нуля до этого числа. У каждого числа есть модуль (расстояние до нуля) и знак, показывающий, справа или слева от нуля расположена точка. Это согласуется с определением модуля: положительное число равно своему модулю, а отрицательное противоположно своему модулю.

1. Неравенство вида $|x|<a$ (модуль меньше числа)

Если $a < 0,$ то неравенство $|x|<a$ не имеет решений. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x,$ значит, $|x|$ не может быть меньше отрицательного числа.

Если $a=0,$ то неравенство $|x|<0$ также не имеет решений. Однако неравенство $|x| \le 0$ имеет решение $x=0.$

Если $a > 0,$ то решениями неравенства $|x|<a$ будут значения $x \in (-a; a).$ Это означает, что число $x$ удалено от нуля менее чем на $a$ единичных отрезков вправо или влево, то есть $-a<x<a.$ Графически это можно проиллюстрировать так:

В случае нестрогого неравенства $|x| \le a$ числа $-a$ и $a$ входят в множество решений, то есть $x \in [-a;a].$

Примеры

Неравенство $|x|<-4$ не имеет решений.

Неравенство $|x|<4$ означает, что расстояние от $x$ до нуля меньше $5,$ значит, $-4<x<4,$ или $x \in (-4;4).$

2. Неравенство вида $|x|>a$ (модуль больше числа)

Если $a < 0,$ то решениями неравенства $|x|>a$ будут все действительные числа. Модуль любого числа больше любого отрицательного числа.

Если $a = 0,$ то решениями неравенства $|x|>0$ будут все действительные числа, кроме нуля, то есть $x \in (-\infty;0) \cup (0; +\infty).$

Если $a>0,$ то неравенство $|x|>a$ требует, чтобы число $x$ не приближалось к нулю ближе чем на $a$ единичных отрезков. Значит, $x<-a$ или $x>a$ , то есть $x \in (-\infty;-a)\cup(a;+\infty).$

В случае нестрогого неравенства $|x| \ge a$ числа $-a$ и $a$ входят в множество решений: $x \in (-\infty;-a]\cup[a;+\infty).$

Примеры

Решениями неравенства $|x|>-7$ будут значения $x \in (-\infty;+\infty),$ то есть $x$ — любое действительное число.

Решениями неравенства $|x|>7$ будут значения $x \in (-\infty;-7) \cup (7; +\infty),$ потому что расстояние от $x$ до нуля должно быть больше $7.$

3. Неравенство вида $a<|x|<b$

Этот случай объединяет два предыдущих. Рассмотрим его для положительных $a$ и $b.$

Неравенство $a<|x|<b$ не позволяет числу $x$ удаляться от нуля дальше чем на $b$ единичных отрезков и приближаться к нему ближе чем на $a.$ Иллюстрация для этого неравенства выглядит так:

И ответом будут значения $x \in (-b;-a)\cup(a;b).$

Подведём итог: выпишем решения простейших неравенств с модулями.

	$a>0$	$a=0$	$a<0$
$\|x\|\geqslant a$	$x \in (-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$	$x \in (-\infty; +\infty)$	$x \in (-\infty; +\infty)$
$\|x\| > a$	$x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty)$	$x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$	$x \in (-\infty; +\infty)$
$\|x\|\leqslant a$	$x \in [-a; a]$	$x = 0$	нет решений
$\|x\| < a$	$x \in (-a; a)$	нет решений	нет решений

Если под знаком модуля стоит выражение с переменной, то следует сначала раскрыть модуль описанным выше способом, а затем выразить переменную.

Пример

Решим неравенство $|3x + 4| < 8.$

$-8 < 3x + 4 < 8$

$-8 - 4 < 3x < 8 - 4$

$-12 < 3x < 4$

$-4 < x < \frac{4}{3}$

Ответ: $x \in (-4; \frac{4}{3}).$

Сложные неравенства с модулем.

Если модуль сравнивается с выражением, раскрываем по определению, рассматривая случаи.

Пример

Решим неравенство $|x + 4| > 3x$ .

1. При $x + 4 \geq 0 (то есть x \geq -4)$ :

$x + 4 > 3x$

$-2x < -4$

$x > 2$

Решение на этом отрезке:
$x \in [2; +\infty).$

2. При $x + 4 < 0 (то есть x < -4)$ :
$-(x + 4) > 3x$
$x - 4 > 3x$
$-4 > 4x$
$x < -1$

Решение: $x \in (-\infty; -4).$

Объединяем:
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [2; +\infty).$

При решении неравенств с модулем можно использовать метод равносильных переходов.

4. Неравенства вида $|f(x)|>g(x)$ (модуль больше выражения)

Неравенство $|f(x)|>g(x),$ где $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые выражения с переменной, равносильно совокупности

$\left[\begin{array}{l}f(x)>g(x),\\f(x)<-g(x).\end{array}\right.$

Пример
$|x + 3| > 2x \iff \left[\begin{array}{l}x + 3 > 2x ,\\x + 3 <- 2x \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x < 3 ,\\x <- 1 \end{array}\right. \iff x<3.$

5. Неравенства вида $|f(x)|<g(x)$ (модуль меньше выражения)

Неравенство $|f(x)|<g(x),$ где $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые выражения с переменной, равносильно системе
$\begin{cases}f(x)<g(x),\\f(x)>-g(x).\end{cases}$

Пример
$|1x-5|<x \iff \begin{cases}1x-5<x,\\1x-5>-x\end{cases} \iff \begin{cases}x<5,\\x>1\end{cases} \iff x\in(1;5).$

Если неравенство содержит несколько модулей, то алгоритм решения аналогичен алгоритму решения уравнений с несколькими модулями.

Алгоритм решения неравенств с несколькими модулями:

Найти в неравенстве все выражения, содержащиеся под знаком модуля.
Найти, при каких значениях переменной они обращаются в нуль.
Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки.
Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или противоположному ему.
Для каждого числового промежутка записать и решить исходное неравенство без знаков модуля.
Найти пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков.
В ответе записать объединение всех получившихся множеств решений.

Пример

Решим неравенство $|x - 3| - |x + 4| > 5.$

Выражения под модулем обращаются в нуль при $x=3$ и $x=4.$ Точки $-4$ и $3$ разбивают числовую ось на три непересекающихся промежутка: $(-\infty; -4),$ $[-4; 3),$ $[3; \infty).$ Решим исходное неравенство на каждом из них:

Промежуток

x \in (-\infty; -4)

x \in [-4; 3)

x \in [3; \infty)

Решение неравенства

$- (x - 3) + (x + 4) > 5$

$7 > 5$

верно для любых $x$

$- (x - 3) - (x + 4) > 5$

$-2x - 1 > 5$

$x < -3$

$(x - 3) - (x + 4) > 5$

$-7 > 5$

решений нет

Учет промежутка

$x \in (-\infty; -4)$

$x \in [-4; -3)$

решений нет

Осталось объединить полученные промежутки.

Ответ. $x \in (-\infty; -3).$