MindCube Академия - Совокупности линейных неравенств с одним неизвестным

Несколько неравенств (а также несколько уравнений и неравенств вместе) можно объединить в совокупность. В этой статье мы разберём именно совокупности.

Совокупность неравенств или (и) уравнений обозначается квадратной скобкой и означает, что нужно найти такие значения, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств или уравнений, входящих в совокупность.

Определение

Множеством решений совокупности неравенств называют множество всех и только тех чисел, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, входящему в совокупность.

Таким образом, множеством решений совокупности является объединение множеств решений отдельных неравенств.

$\blacktriangleright$ Пример 1. Найдём решение совокупности неравенств

$\left[ \begin{array}{l}x>1,\\x<4.\end{array} \right.$

Решение.

Рассмотрим отдельные значения x и проверим, входят ли они в множество решений.

Например:число 1 входит, потому что удовлетворяет x < 4;число 6 входит, так как удовлетворяет x > 1;число 4 также входит, поскольку удовлетворяет обоим условиям.

Чтобы не проверять все числа, удобно изобразить решение графически (см. рисунок 1).

В данном случае объединяем решения обоих неравенств — это все точки числовой прямой, попавшие хотя бы под одну из дуг.

Итак, любое действительное число либо больше 1, либо меньше 4, либо удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: $\mathbb{R}$ .

$\blacktriangleright$ Пример 2. Найдём решение совокупности неравенств

$\left[ \begin{array}{l}x>1,\\x>4.\end{array} \right.$

Решение.

Решением является объединение множества чисел, больших 1, и множества чисел, больших 4. Поскольку любое число, большее 4, уже автоматически больше 1, итоговое множество совпадает с решением x > 1 (см. рисунок 2).

Ответ: $(1;+\infty)$ .

$\blacktriangleright$ Пример 3. Найдём решение совокупности неравенств

$\left[ \begin{array}{l}x<1,\\x<4.\end{array} \right.$

Решение.

Решение. Решение — объединение чисел, меньших 1, и чисел, меньших 4. Любое число, меньшее 1, также меньше 4. Таким образом, итоговое множество совпадает с x < 4 (см. рисунок 3).

Ответ: $(-\infty;4)$ .

$\blacktriangleright$ Пример 4. Найдём решение совокупности неравенств

$\left[ \begin{array}{l}x<1,\\x>4.\end{array} \right.$

Решение.

Решением будет объединение двух непересекающихся множеств (см. рисунок 4): все числа меньше 1 и все числа больше 4.

Ответ: $(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$ .