Общие методы решения неравенств с переменной икс: приёмы, примеры и пояснения

В этой статье рассмотрим несколько общих методов решения неравенств. Отметим, что на самом деле существует гораздо больше методов. Для каждого типа неравенств (с модулем, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, комбинированные) применяется свой арсенал приёмов, которые подробно описаны в отдельных материалах, посвящённых данным видам неравенств.

Далее методы будут сформулированы для неравенства вида f(x) > g(x). Это никак не ограничивает их применение: аналогичные рассуждения справедливы для неравенств со знаками «меньше», «не меньше», «не больше».

Метод разложения на множители

Метод заключается в следующем. Пусть исходное неравенство посредством неких равносильных преобразований нам удалось свести к виду $f(x)\cdot g(x)>0$. Тогда оно равносильно следующей совокупности:

$t=g(x)$

После этого решаются каждое из неравенств системы. Важно при этом учитывать область определения исходного неравенства и в конце исключить из решения точки, не принадлежащие области определения.

Метод введения новой переменной

Метод заключается в следующем. Пусть исходное неравенство $f(x)>0$ посредством неких равносильных преобразований нам удалось свести к виду $p(g(x))>0$. Тогда можно ввести новую переменную $t=g(x)$, решить неравенство $p(t)>0$, пусть, например, $t_1\leqslant t<t_2$ — его решение, а затем разрешить относительно $x$ неравенство $t_1\leqslant g(x)<t_2$.

Следует отметить, что выбор замены t = g(x) может быть неоднозначным, и удобство последующего решения во многом зависит от удачного выбора такой замены.

Функционально-графический метод

Этот метод заключается в построении на одной системе координат графиков функций:$f(x)>g(x)$.Далее ищутся промежутки, на которых график функции y = f(x) располагается выше графика y = g(x), то есть значения x, при которых f(x) > g(x).Применяя этот метод, важно помнить: полученные значения x будут приближёнными, поэтому нужно дополнительно проверить аналитически, действительно ли найденные точки являются границами решения (например, убедиться, что при x = x_2 выполняется f(x_2) = g(x_2)).

Метод оценки области значений

Данный метод заключается в следующем.
Если удалось найти, что на области определения:
максимальное значение функции y = f(x) равно A,
минимальное значение функции y = g(x) равно B,
при этом \( A \leqslant B \),
то неравенство f(x) > g(x) не имеет решений.

Замена неравенства $h(f(x))>h(g(x))$ неравенством $f(x)>g(x)$

Если y = h(x) — строго возрастающая функция, то неравенство:
h(f(x)) > h(g(x))
эквивалентно неравенству:
f(x) > g(x)
на области определения исходного неравенства.
Если же y = h(x) — строго убывающая функция,
то неравенство h(f(x)) > h(g(x)) эквивалентно:f(x) < g(x).

в пределах области определения.